在 坐标曲线上任意取两个点 , ,那么MN沿着 坐标曲线的弧微分 ,该式中 ,其中 是 坐标曲线两点M,N在直角坐标系下横坐标值的差,且由于M,N均位于 坐标曲线上,其 坐标相等,因此 的值为0,则 ,同理可得: 则 ,同理,可以导出 ,拉梅系数 ,其中 ,则 ,从而推出基本公式 。

接下来引入曲线坐标系下的梯度表达式。由直角坐标系下梯度公式文献综述

 、 和 ,

可以得出

                       ,

并且此式与坐标系是无关的。

在曲线坐标系下,

                     

           

此式中的 是一个沿坐标曲线的单位矢量 。采用待定系数的方法,即令 ,代入 中,得

 根据对应项系数对应可以得出:

     ,因此可以得出在曲线坐标下的梯度公式:

3  散度

3。1  散度

    在直角坐标系中,选取一个点 为顶点作一个平行六面体,它的三个边分别为 、 、 ,各面分别与三个坐标面平行,体积为 。设在点P的矢量为: ,之后分别计算穿过三对表面的向量 的通量,从前后一对表面穿出的净通量为

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