本文介绍了几种微分方程的求解方法,首先通过幂级数法、特征方程法、拉普拉斯变换法、升阶法等对二阶常系数微分方程进行求解。其次,对于二阶常微分方法的初值问题进行了基本研究,然后对变系数二阶微分方程的求解方法进行了讨论,尤其是通过确定Lipshitz常数,利用Picard函数列逼近法求二阶变系数方程的近似解。最后通过大量的查阅文献资料,对数个常系数二阶微分方程的求解方法进行了分析。以分析基本方法为基础对我们进一步研究常微分方程提供了帮助。

1。二阶常系数微分方程的基本方法

1。1幂级数解法文献综述

齐次二阶线性微分方程

及初值条件及。若方程中系数和都可以展开成的幂级数,且收敛区间为,且方程拥有形如的特解,也以为级数的收敛区间。

例 求方程并且满足初值条件为及的解。

解 设级数为方程的解。首先,利用初值条件,可以得到,,

因而将,,的表达式代入到方程(1),合并的各个同次幂的项,并令各项系数等于零,可得

因而最后得,,

对一切正整数成立。将的值代回(1)就得到

这就是方程满足所给初值条件的解。

1。2特征方程法

如果,是齐次二阶常系数线性微分方程

  ,其中,均为常数                       (2)

的两个线性无关解,那么（2）的通解就可以表示成

（,为任意常数）

由此可知,只要是能够找到方程(2)的两个线性无关解,就能求出方程(2)的通解。当为常数时,函数与它的各阶导数相差一个常数。因此,假设方程(2)有形如

的解,将函数代入方程(2)得

又,则必有    (3)

即如果是(2)的解,则必满足方程(3)。反之,若满足方程（3）,则就是（2）的一个特解。

所以(2)的特征方程是(3),因此(2)的根也可以被叫为特征根,即

下面根据特征根的不同情况分别进行讨论。来,自.优;尔:论[文|网www.chuibin.com +QQ752018766-

  有两个不相等的实根,

所以方程(2)的两个线性无关的特解就是和,因此方程(2)的通解可以表达为

； 有两个相等的实根 

易知是方程(2)的一个特解,设另一个特解为,将和入到(2)得