2。1 Penrose广义逆矩阵的定义

定义2。1。1设，如果满足下列四个条件

那么叫为的Penrose广义逆矩阵,简记为Penrose广义逆，记为。

例2。1。1 由定义直接验算：

若，则有。

若，则有。

在我们平常的学习中，由于存在着不尽相同的情况，则要思考符合的某些函数的矩阵叫做弱逆。广义逆矩阵中满足不同条件的数目并不一定，所有的广义逆矩阵都有本身的矩阵，是以引进如下定义。

定义2。1。2 设，用表示满足Penrose第个方程的矩阵的集合；，又常记为，叫做的-逆。

根据定义2。1。2知道，符合1个、2个、3个、4个Penrose方程的广义逆共有15个，也就是个，但应用较多的有以下5类：

，此中随意一个确定广义逆矩阵被称作为减号逆，记作为；文献综述

，此中随意一个确定广义逆矩阵被称作为自反广义逆，记作为；

,此中随意一个确定广义逆矩阵被称作为最小范数广义逆，记作为；

，此中随意一个确定广义逆矩阵被称作为最小二乘广义逆，记作为。

2。2广义逆矩阵的性质和构造方法

下面介绍常用的五种广义逆矩阵的性质。

2。2。1广义逆的性质和构造

满足定义2。1。1中方程的矩阵称为的广义-逆矩阵，记为，简记为，的广义-逆矩阵的全体用来表示。

     例2。2。1设,可以计算出                 ,所以和都是的广义-逆。

因此对任何矩阵，的{1}-逆不是唯一的，则,并且{1}中的任何矩阵都可以记为。

定理2。2。1 设且秩为，分别为阶和阶的非奇异矩阵，并且，则有

，为任意适当阶的矩阵。

定理2。2。2 如果则有如下的性质：

其中；；

如果，则，于是得到，并且从而得到为幂矩阵。

定理2。2。3 如果矩阵，则有；来自~吹冰、论文|网www.chuibin.com +QQ752018766-

，当且仅当为列满秩；此时叫做的左逆，即作为;

，当且仅当为行满秩；此时叫做的右逆，记作为。

2。2。2广义逆的性质和构造

定理2。2。4 设和,且令,则有。

定理2。2。5对于给定的和,则有，当且仅当。

定理2。2。6 设，则有

和都是幂等矩阵并且

定理2。2。7 设分别为阶和阶非奇异方阵，并且，则有为任取的适当阶数的矩阵。

定理2。2。8设，其满秩分解式为,，则有的一种通式为