例 1 已知x, y, z ∈ (0,1), 求证：x(1 − y) + y(1 − z) + z(1 − z) <  1。

分析：将原不等式中的 x 视为未知数，即可将不等式变形为：(1 − y − z)x +

(y − 1)(1 − z) < 0，

观察发现，该不等左边是关于 x 的一次式，自然地允许使用函数的保号性去证明不等式。

证明:设f(x) = (1 − y − z)x + (y − 1)(1 − z)，

由0 < y, z < 1，得f(0) = (y − 1)(1 − z) < 0，又因为f(1) = −yz <   0， 由函数在 f(x)在（0,1）上的保号性，得 f(x)在（0,1）上恒有 f(x)<0，即：(1 − y − z)x +

(y − 1)(1 − z) < 0。

所以不等式 x(1 − y) + y(1 − z) + z(1 − z) < 1 成立。

2。利用二次函数的判别式证明不等式

2。1 二次函数的判别式

定义：对于二次函数 f (x) ax2 bx c ，其判别式为 b2  4ac 。

判别式性质：

当 0 时，函数 f (x) 在其定义域上有两个不同的零点。

当 0 时，函数 f (x) 在其定义域上有两个相同的零点。

当 0 时，函数 f (x) 在其定义域上没有零点。

2。2 利用利用二次函数的判别式证明不等式

例 2 已知实数 a,b,c 满足(a+c)(a+b+c)<0，求证：(� − �)2 > 4�(� + � + �)。 分析：将不等移项整理，得到不等式(� − �)2 − 4�(� + � + �) < 0，

该不等式的不等号的左边显然是一个二次函数的判别式的形式，那么我们可以尝试构造二次

函数去证明该不等式。源-于,优W尔Y论L文.网wwW.youeRw.com 原文+QQ75201,8766

证明：设 f(x)=�2 − (� − �)� + a(a + b + c)， 由条件得 f(a+b+c)=2(a+c)(a+b+c)<0，

由于该函数的图像开口向上

二次函数 f(x)有两个不同的零点。

故有∆= (� − �)2 > 4�(� + � + �) > 0，得证。

3。  利用函数的单调性证明不等式

3。1 函数单调性

定理：设函数 f (x) 在区间 (a,b) 内可导，若 f (x)' 0(0) ，则 f (x) 在区间 (a,b) 内 严格单调递增（递减）。[1]

3。2 利用函数的单调性证明不等式

例 3 设 b>a>0，求证：ln � > 2(�−�)。

证明：令 x=

，讲原不等式进行整理，可以得到ln � >

构造函数：f(x)=lnx -

由于函数 f(x)在[1,+∞）上连续，在[1,+∞）上可导。

故对于 x>1，有 f’(x)= − 4

因此，当 x>1 时，f(x)是单调增函数，

2(�−1)

从而得 f(x)>f(1)。即 lnx -

从而得当 x>1 时，ln � > 2(�−1)

代回不等式，得到ln �

。得证。

4。利用中值定理证明不等式

4。1 中值定理

定理：如果函数 f (x) 满足：

（1）在闭区间[a, b] 上连续；

（2）在开区间 (a, b) 内可导；

那么在开区间 (a, b) 内至少有一点 (a b) ， 使等式 f (a) f (b) f ' ()(b a) 成立。[2]

4。2 利用中值定理证明不等式

例 4 求证|sin � − sin �| ≤ |� − �|。

证明：设 f  x  sinx  则由中值定理得： sinx  siny （x  y）sin’   x  ycos ，

故|sin � − sin �| ≤ |(x − y)cosξ| ≤ |� − �|。论文网