OJC OIC 90。又因为 ACB 90，得到四边形 OICJ 是边长是 4 正方形。设

BD x ， AD y ，则 BD BI x ， AD AJ y 。在直角三角形 ABC 中，由勾股定

理得  x  42   y  4 2   x  y  2

① 。 在 直 角 三 角 形 AEB 中， 有 AEB 90且

ED AB 可得 ADE

。于是得到 ED2   AD  BD ，即文献综述

102  x y  ②。

通过解①式和②式可得， x y 21 ，即半圆的直径 AB 21 。

评析：本题的大背景是一个圆内切于一个三角形中，同时还涉及了正方形、直角三角形 的勾股定理等知识。第一小题，先根据正方形和圆的对称性得到 H 是GD 的中点。再假设

GH a ，可以表示出正方形的边长。由勾股定理得到 FH 即圆的半径，便可得到答案。第

二小题，较为复杂一点。先连接两个切点与圆心，由切线长定理和切线定理可得到四边形 OICJ 是边长为 4 正方形。在通过假设 AD 和 BD 为未知量，就可以由 RT ABC 的勾股定理 得到两者之间的关系式。再连接 EB 、 AE ，由角度相等得到相似三角形，根据相似比得到 两者的另外一个关系式。最后就能解得半圆的直径。本题的难点在于第二问的相似三角形不 容易找。在这里，我们可以用逆推的思想，通过假设的两个未知量来确定哪几个为相似三角 形。在数学中，有一句话叫“正难则反易”。正面找不到解题思路，可以根据结论来逆推就 会简单许多。