图2-1  任意一个二维区域S

图1表示任意一个二维区域S，其边界分别为 。假设场 满足下面的Helmholtz方程和边界条件

                                                   （2-1）

上述定解问题对应的等价变分表达方为[1]

                                  （2-2）

2。1 边值问题

考虑二阶方程所定义的边值问题

                     （x，y）             （2-1-1）

式中， 是未知函数， 、 和 是与区域物理性质有关的已知参数， 是源或激励函数。常用的二维拉普拉斯方程，泊松方程和赫姆霍兹方程是（3）的特殊形式。

所考虑的边界条件为：

                                       在 上    （2-1-2）                 

    及              在 上        （2-1-3）

    式中， 表示包围面 的轮廓或边界， 是外法向单位矢量， 、 和 是与边界物理性质有关的已知参数。特别地， 和 能被看作边界源或边界激励。显然，渃曼边界条件是（2-1-3）式在 时的特例。

2。2 变分公式

上述边值问题的变分公式可表示为

                         在                              上           （2-2-1）

式中   

      （2-2-2）

注：若存在不连续界面，则必须用连续性条件（2-1-3）式来补充（2-2-1）式。

上述变分原理的证明非常类似于一维情形。首先，取 对 的第一变分，得到来*自-优=尔,论:文+网www.chuibin.com

                          （2-2-3）                 

引用恒等式         （2-2-4）

以及散度定理（假设 和 在整个区域上连续）

                 （2-2-5）

则（2-2-3）式可写成

+                  （2-2-6）

因为 在 上的值是固定的， 沿 为零，所以，在 上的相应积分为零。因此，（2-2-6）式可写成

   （2-2-7）

强加驻点条件得到

       (2-2-8)

为使（2-2-8）式对所有容许的变分 均成立，则面积分和线积分必须分别为零。结果得到

                       （2-2-9）

                           （2-2-10）

即它们分别是（2-2-1）式和（2-2-3）式。

2。3