2 二维矢量有限元分析

我们从二维单元开始，首先介绍矩形单元，然后介绍三角形单元和四边形单元。虽然矩形单元只适用于有限类的几何形状，但因为它们比较简单，因而最适合于介绍棱边元的概念。

2。1 矩形单元来*自-优=尔,论:文+网www.chuibin.com

  由图2。1所示的矩形单元，它的边长在x和y方向分别为  和l ，它的中心在(x ，y )。如果单元每边被赋于一个不变的切向场分量，那么，该单元中的场可展开为：

如果我们定义棱边（1,2）最为棱边1，棱边（4,3）作为棱边2，棱边（1,4）作为棱边3，棱边（2,3）作为棱边4，那么(2。1。1)式 (2。1。2)式可以写成：

                                                        （2。1。3）

  其中 表示第 个棱边的切向场， 是矢量插值函数或基函数，它们由下列式子给出：

这些函数的旋度可以表示为：

       图2。1  矩形棱边单元

2。2 三角形单元

  在处理不规则集合图形的问题时，可以使用三角形单元。图2。2所示三角形单元，我们参照单元面积坐标( , , )。

图2。2  三角形棱边单元

  ( , , )是单元的线性插值函数，可得矢量函数为：

设 为从结点1指向结点2的单位矢量。由于 是一个线性函数，它从结点11处的1变化到结点2处的0:；同理 ，从结点2处的1变化到结点1出的0。则有 和 。

则有

若定义棱边（1,2）为棱边1，则有 （2。2。3）

同理定义棱边（2,3）为棱边2，棱边（3,1）为棱边3。可得其矢量基函数为：

因此，该单元的矢量场可展开为           （2。2。6）

三角形单元矢量基函数的矢量图不易想象。如图2。3，我们表示的是一个典型单元中这些函数的矢量图。