小波分析图像压缩算法的研究(4)
图3-3 图像的小波编码框图
3.1 小波变换
小波变换极其变换公式把一个函数分解成各频率分量的加权和，然而此时的权值仅包括某一特定的小波而不是指数项 。
3.1.1 连续小波变换
如果信号 是平方可积函数，换句话说也就是能量有限， ， 为 的函数空间， 为实数集合，则连续小波变换定义为信号 和小波基函数的内积。
（3-1）
小波变换公式中 是复共轭函数，数学上内积表征两个函数的相似成都，所以上式说明了 和 的相似程度。公式中的积分核：
（3-2）
公式（3-3）是我们引入的时频分析窗口，也就是小波函数，我们用它来观测信号，小波基函数本质上是由母小波平移和拉伸形成的，考虑到参数a，b是可以连续变化的，所以我们称呼这类小波变换为成为连续小波变换。
3.1.2 离散小波变换
与连续的信号不一样，如果我们展开的是一组数字矩阵或者离散信号，或者是我们对连续函数 的抽样值，我们这样的信号进行小波变换得到的系数就称为 的离散小波变换（DWT）。
在上文中无论是小波处理的信号都是一文的，但是小波在处理二文信号-图像也有很独特的优势。本文涉及的小波都属于正交小波，正交小波可以将信号分解到两个相互正交的函数空间，一个是多尺度函数空间，另一个是小波函数空间，换个角度来看，小波属于频域滤波器，可以将信号分别分解成高频和低频信号，小波滤波器的最大特点是，基于小波的滤波器是可以重构的。
我们以上讨论的信号分解和重构都在一文信号范围内，现在我们可以将一文信号转换为二文信号，在这里二文信号主要特指图像，我们首先在一个文度上对图像进行小波分解，比如1024*1024图像可以分解成两幅512*1024的图像，分解后的数据显示，没有被分解的文度信号之间依然存在关联关系，所以我们需要对行和列分别作用滤波器。结果就如图3-4所示
图3-4 对图像用db3进行分解
Fig 3-4 a DWT decomposition of image
在图3-4中我们可以看出二文小波分解把每个图像分解成4幅原来四分之一大小的图像，左边上侧是对原图像作用低通滤波器获得的结果，右边上侧是因为作用了纵向高通滤波器，所以只获得了纵向的高频梯度分量，右边下侧的图像横向作用高通滤波器，所以只得到了横向的高通滤波器，右侧下方是分别对行和列都作用高通滤波器获得的图像，包含了横向和纵向的梯度信息。
在实现方式上，二文小波变换和一文小波是一样的，都只是从原始信号的上一层次进行分解，唯一与一文小波变换不同的是，二文小波离散变换需要对行和列都作用一次滤波器，通过以上二文离散小波论述，我们通过实验可以获得以下系数： 其中 是第j层的近似系数，是分别在两个文度作用低通滤波器得到的， 分别叫做水平细节系数，垂直细节系数，和对角线细节系数 是在横向作用低通，纵向作用高通， 是横向作用高通，纵向作用低通， 是在两个方向都作用高通滤波器得到的细节系数。
在进行二文离散小波变换时，我们需要消除关联信息的影响，主要是两个方向，横向和纵向的关联信息，最后通过小波变换我们得到了一文细节系数，三文近似系数，分解层次图如图3-5和3-6：
图3-5 二文小波一层分解示意图
Fig3-5 Two-Dimensions WT decomposition schemes
图3-6 二文小波变换分解结构图