2。设f(z)在点α的罗朗展开是cn(z-a)n。如果展开式的负幂项部分（罗朗级数的负幂项部分被称为罗朗级数的主要部分）cn(z-α)n。的所有项都是零，则α是可去奇点；如果展开式的主要部分只有有限个非零项，则α是极点；如果展开式的主要部分有无穷个非零项，则α是本性奇点。

如果使用极限法判定奇点类型，那么一下几个结论是有用的：

1。如果数列{bn}(n=1,2,3,…)的极限都是α，但f(bn)≠f(cn)，那么f(z)即不存在也不为无穷。

2。非常数周期函数在∞点出的极限既不存在也不为无穷。

3。有界变量×无穷小=无穷小，有非零极限的函数×无穷大=无穷大。这里×表示乘法。

2。2柯西积分定理

假设函数在单连通区域D内解析，则在D内沿着任一条简单闭曲线C的积分。

当在简单闭曲线C上及其内部解析时，由柯西积分定理知：若上述C的内部存在函数的孤立奇点，则积分一般不等于0。

由罗朗展开式知，取罗朗系数中n=-1可得：，因而积分：。[10]来自~吹冰、论文|网www.chuibin.com +QQ752018766-

第三章 留数定理

3。1 留数的概念

定义1[11] 设是解析函数的孤立奇点，即在点的某个去心邻域0<|z-z0|<R内解析，则称积分（其中，C：0<|z-z0|=p，0<p<R）为函数在点处的留数，记作Res[,]

则=C-1

即Res[,]=C-1

由定义可知，在点处的留数，即为罗朗级数中在圆环域内的D负幂项的系数C-1。

定义2[12] 设在R<|z|<+∞内解析，∞是的孤立奇点，C为圆环域R<|z|<+∞内绕z=0的任一正向简单闭曲线，则积分：与C无关，称此积分值为在∞处的留数，记为Res[,∞]，即