四旋翼无人机系统高频动态仿真与分析(4)
2.1 运动坐标系及其转化
描述一个飞行的飞行状态，必不可少的是坐标系的建立。通常用两个坐标系刻画飞行器飞行状态，一个是地面坐标系，另一个是机体坐标系[17][18]。下面介绍这两种常用坐标系：
1）地面坐标系
此坐标系用于描述飞行相对地面参考点的运动，该坐标系原点O定于地球表面，XYZ是典型的三文直角坐标系，其中XOY平面为水平面，OX轴向人为指定，OZ正向满足右手定则。
2）机体坐标系
此坐标系的原点O定于机体的重心，XYZ亦为三文直角坐标系，XOY平面与飞行器平行，其中OX正向指向飞行器的前（OX轴经过两个电机），OY正向指向飞行器的右（OY轴也经过两个电机），OZ正向与OX和OY满足右手定则。
3）坐标变换
我们引入欧拉角描述地面坐标系和机体坐标系的角度关系：
横滚角 ：OX轴单独旋转后，OZ相对原来轴向的角度，从OX正向看入，逆时针为正。
俯仰角 ：OY轴单独旋转后，OX相对原来轴向的角度，从OY正向看入，逆时针为正。
偏航角 ：OZ轴单独旋转后，OY相对原来轴向的角度，从OZ正向看入，逆时针为正。
2.1欧拉角示意图
由于三个角是相互独立的，我们可以分别建立坐标变换的矩阵R，设机体坐标系下坐标为X，地面坐标系下坐标为Y。由图我们可知，各个欧拉角引起的坐标变换矩阵如下：
最终的变换矩阵:其中:
我们可以得到机体坐标系下坐标到地面坐标系的变换：
Y=RX
其中变换矩阵R是一个正交矩阵,则其逆矩阵即为其转置矩阵。
2.2 四旋翼飞行器动力学模型
建立飞行器数学模型之前还需要做以下几个假设：
1）飞行器是刚体，且严格对称；
2）机体坐标系的原点与飞行器质心重合；
3）机翼固定不会移动。
基于以上3点假设，我们根据牛顿的力学分析，在地面坐标系下，可以写出如下动力学方程描述飞行器运动[19]：
其中F为飞行器所受合外力，m为飞行器的质量，V为飞行器速度，M为飞行器所受合力矩，H为飞行器相对地面坐标系的绝对动量矩。
分析机体受力，可知其合力由重力，阻力以及升力三部分构成,假设电机转速为 ,重力加速度为g，则重力:
(2-7)
而由飞行器的动力学可知，旋翼的升力和相对中心的扭矩都是和旋翼转速的平方成正比，可做以下假设：
扭矩:升力:
其中两个未定系数k皆可通过实验来测定。因为是假设理想环境，这里忽略阻力的影响。再考虑坐标变化，原系统动力学方程可以进一步改写为：
由欧拉定理可知，欧拉角的角速度 和机体的对应轴向 角速度有以下关系：
由于飞行器的对称性，我们假设飞行器的惯性矩阵为[20]：
由于四旋翼飞行器的对称性和中空性，非主对角线的转动惯量叫主对角线上的转动惯量要小很多，我们可以将其近似为0。
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