四旋翼飞行器自主飞行与轨迹跟踪控制系统的设计(2)
1.2 研究现状
1.2.1 四旋翼的建模方法 虽然无人飞行器有很多种不同的形式，但是它们的建模方法大体上相似，下面介绍UAV的建模方法。不同的建模方法均将无人飞行器本体视为可以在空间中自由运动的刚体，但仍存在一定区别：力与力矩的产生机制以及无人飞行器姿态的描述方法。前者主要是决定于无人飞行器(UAV)的构形和旋翼的结构分布，因此此处将简单介绍无人飞行器姿态的描述方法。无人飞行器的位姿包括两方面，分别是质心的位置和相对于惯性坐标系的方向，其中质心的位置可等效成欧几里得空间中的一个矢量，而它的姿态是存在于矩阵群空间中的元素，该元素满足正交等特殊条件。由于无人飞行器的转动是一个刚体变换，仅由有限次平移变换和旋转变换组成，这种变换保证了机体上任意的两个质点之间距离相对固定。因此无人飞行器的姿态能表示为一个3 × 3的正交矩阵R，该矩阵行列式为1。矩阵R 通过刚体变换将一个在机体坐标系下表示的矢量变换至惯性坐标系中。这个矩阵的三个列向量分别为机体坐标系下的三个正交基向量在惯性坐标系下的三个坐标轴方向的分量，三个行向量为惯性坐标系下的三个正交基在机体坐标系三个坐标轴方向的分量，这个矩阵被称之为旋转矩阵。根据描述旋转矩阵时采取的方法不同，将无人飞行器的模型分成以下两种： (1) 局部坐标参数化方法 旋转矩阵是一个三文矩阵，需要同时满足两个条件，即单位性和正交性。由此可推导出旋转矩阵是一个三文反斜对称阵，所以最少仅要三个参数就可以描述该旋转矩阵。为方便后续研究，有多种方法将此旋转矩阵参数化。下面介绍最为常用的两种参数化方法：欧拉角和四元数。 (a) 欧拉角 欧拉角将表示姿态的 SO(3)群局部参数化得到的结果。 若给定初始条件： 刚体的初始姿态和惯性坐标系相重合，那么可以推得刚体的当前姿态，即由初始坐标系围绕其三个坐标轴分别做三次连续的旋转所得，而欧拉角就是将三次旋转的独立角度参量用作描述旋转矩阵R。作为ℝ3空间的一个子集，这种方法所用的参数最少，同时其物理意义非常明确，按照不同的旋转轴次序进行旋转，都可以获得刚体运动的最终姿态。根据每次旋转坐标轴次序的差异，欧拉角具有12种不同的形式。 虽然此方法可以描述刚体运动的所有姿态，但是也存在一些不足。例如，每种欧拉角都存在一个特殊的单位旋转，在这个姿态上会有一个奇异点，也就是用欧拉角来解算旋转的问题没有平滑的全局解，这时这个用欧拉角表示的单位旋转有无穷多个表示法。因此，SO(3)的任何三文表示法都无法避免奇异性，这时拓扑学中一个基本事实。
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