3.1  受迫振动Duffing系统的典型特征 12

3.2  摄动法求解双频激励硬弹簧Duffing系统的响应 14

3.3  多频激励下Duffing-Van der Pol系统的响应特性 21

结论 24

致谢 25

参考文献 26

1  引言

1.1  研究现状和意义

多频激励下的典型非线性振动系统有着比单频激励下更复杂的响应特征。多频激励下，非线性系统不仅会发生主共振、亚谐波共振和超谐波共振，且当外激励频率组合后和系统固有频率接近时还可以发生组合共振，这说明相比于线性系统，非线性系统产生共振的范围更大[1]。由于实际工程上的广泛需求，多频激励已经是当前非线性振动研究领域一个非常重要的研究方向了，研究者们在这一领域做了很多工作[2-5]。

张伟和陈予恕对含有参数激励的非线性振动系统的响应、分岔与混沌等问题展开了研究,并对这一领域尚未解决的问题及未来的研究方向提出了意见[6]。陈予恕阐述了近期国际国内在非线性振动、分岔以及混沌理论等方面的研究现状和应用于工程领域将要面对的问题[7]。杨德森等通过解析求解对Duffing系统的幅频响应特性进行了大量研究，发现多频外激励对系统的振动状态产生了影响，而通过Matlab软件对硬弹簧特性Duffing系统具体数据进行仿真发现多频外激励确实对系统的振动状态产生了影响[8]。李韶华等利用解析求解方法分析了在多频外激励和参数激励共同作用下的Van der Pol系统 ，同时结合奇异性理论，发现系统的稳态过程的响应是一树杈状的分岔，并且通过调整外激励项的幅值和阻尼项的系数能够非常有效地控制系统的分岔特性[9]。赵志宏等通过解析求解对Duffing-van der Pol系统的幅频响应特性进行了大量研究，发现多频外激励对系统的振动状态产生了影响，而通过Matlab软件对硬弹簧特性Duffing-van der Pol系统具体数据进行仿真发现多频外激励确实对系统的振动状态产生了影响[10]。

王海波运用慢变参数谐波平衡法对Duffing方程进行了求解，进一步对Duffing系统的稳定性进行了分析，并且将解析求解的平均法和谐波平衡法结合起来使用中，使得谐波平衡法的使用范围得以扩大，可以运用于分析受迫振动的稳定性问题[11]。杜文举从已有非线性振动理论出发，从理论求解和数值仿真两个方面对Duffing-Van der Pol系统的响应特性、Hopf分岔行为及其分岔控制等进行了全面深入的研究，得到了一些尚未讨论过的现象和规律[12]。王玉敏和丁凡应用Matlab软件研究了Duffing-van der Pol非线性振动系统的数学模型，通过这个数值仿真软件实现了Duffing-Van der Pol系统动力学模型的各项数值模拟仿真，包括频谱图、相平面图、庞加莱截面、时间历程曲线、幅频曲线和分岔图等[13]。王黎辉和冯宝成运用Matlab数值仿真和图像识别相结合的方法对包含九个参数的Duffing-Van der Pol非线性振动系统展开了一系列研究，并根据该系统的时间历程曲线、相平面图、庞加莱截面、频谱图和吸引子图以及分岔图等来判断和研究非线性振动的混沌现象[14]。符五久分四种情形对保守Duffing系统进行了严格求解，此外运用Melnikov函数方法对Duffing-Van der Pol系统的次谐分岔开展研究以获得其Hopf分岔条件。根据这些条件，在参数空间中确定了Hopf分岔曲线[15]。Yang等[16]采用解析和数值的方法研究了单自由度弱非线性Duffing系统在三个外激励作用下的组合共振特性，发现系统响应将包含多个共振峰，这表明实际工程系统的疲劳寿命比理想激励下的寿命预测结果要短。Lou等[17]研究了软Duffing系统在多频激励下的混沌动力学行为，发现系统可以由横向异宿环面形式进入混沌运动，且随着激励频率数目的增加，混沌区间增多。