我们可以知道 原始矩阵X的一个最优p列解。经过奇异值分解后，LSI将一个文本 投影到一个低维特征空间，如下：

                                        (2)

其中 是文本 （i=1,2,,n.）的潜在语义索引。 是将文本投影到潜在语义空间的投影矩阵。 是一个对角矩阵，它用于在潜在语义空间重新标度文本的特征。对于一个给定的从资料库中提取信息的要求q，它是通过下式来投影到潜在语义空间：

                                (3)

在传统的信息检索任务中，文件是根据它们在潜在语义空间的要求q的相似性来进行排列的。一个常用的相似性度量方法是余弦相似度的度量，如下：

        (4)

其中 代表向量之间的内积， 表示一个向量的Frobenius范数。下面的定理1将经典LSI重构为一个优化问题：

定理1：令 ，经典LSI可以按以下方式重构为优化问题：源.自/吹冰·论\文'网·www.chuibin.com/

s.t.  W=I, W          (5)

在这里， 表示的是所有对角线元素的总和，即矩阵 的迹。

2.2.2  LSI下的特征选择(FSLSI)的实现

线性降维问题一般来说可以被定义为寻找一个最佳线性函数f: （通常p d），使得向量 可以通过关系式： 投影到一个维度更低的特征空间，其中W 是投影矩阵。传统的降维方法大致可以分为两类，特征提取和特征选择算法。根据一般的降维框架，这两类算法都可以看作是根据一定的目标函数J(W)来寻找最佳的W。