自由振动系统的运动微分方程为: ,设其解为 ,其中s为待定系数。代入上式可得

因为 ,所以上式在任意时刻t均成立的条件为 ,该方程即为上式特征方程,它的两个根为

由此可得,通解 。该式中,第一项 是单纯的时间指数衰减函数,但是括号内的项的特性则决定于根号中的数值是正、零还是负。

当阻尼项 大于 时,该式中的指数是实数,不可能产生振动;当阻尼项 小于 时,该式中的指数变成虚数 。因为

此时,通解括号中的项是振荡的,该类情况为阻尼振动。当括号内的项为零时的阻尼系数称为临界阻尼系数,记为 。令 ,则

式中, 为无阻尼系统的固有圆频率。

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