2。3 无穷积分的敛散性判别论文网

   对反常积分，若对任意的，存在，称反常积分收敛且称上述极限值为反常积分的值，即。故可以看出，反常积分由定义计算可分两步：

第一步：求定积分：。

 第二步：取极限：。

    例2。3。1 计算反常积分

    解   第一步: ；

         第二步：当趋于时，。

         所以=0。 

   定理2。3。1[1](比较判别法)

    设在区间上，有其中T是正数，并且对任何, 函数和在区间上均可积，所以如果收敛时，那么也收敛；若发散时，那么也发散。

   推论（比较原则的极限形式）：设在区间上，有函数 , , ,那么

   <i>    ,那么发散时，发散；

   <ii>   ，则收敛时，也收敛。

      证 如果，那么存在常数，当时成立，，即，由比较判别法，当收敛时，也收敛。

    如果，那么存在常数，当时成立，其中（当时，可以取任意正数）即，由比较判别法，当发散时，也发散。

    定理2。3。2[1]（Cauchy判别法)

    以为比较对象，即取=,以下假设。若对任何,且>1,那么收敛，若,≤1,则发散。

   推论（Cauchy判敛的极限形式）：设在上恒有，并且有，则

  （1）,p>1,则收敛;

  （2）如果,p≤1,则发散。

    定理2。3。3[1](阿贝尔判别法与狄利克雷判别法):

 如果下列两个条件之一满足，那么收敛

  （1)阿贝尔判别法：若在区间上可积，单调有界;

   （2)狄利克雷判别法：设在区间上有界，在上单调并且。

证：（1）如果Abel判别法条件满足：记G是在的一个上界，因为收敛，由Cauchy收敛原理，存在，使得对任意的，有

由积分第二中值定理，文献综述

  （2）如果Dirichlet判别法条件满足，记是在的一个上界，此时对任意，显然有

因为，所以存在，当时，有

于是，对于任意的

所以无论哪个判别法条件满足，有Cauchy收敛原理，都有收敛的结论。

     例2。3。3。1判别无穷积分的 ()收敛性。

        被积函数在上连续且恒为正，并注意到,因此

由的敛散性及比较原则可以知，当,无穷积分发散，当，无穷积分收敛。

      例2。3。3。2 讨论积分的敛散性

   显而易见，该积分为非负函数的积分，可以使用比较判别法，由不等式

知，当,那么积分收敛，从而收敛。来自~吹冰、论文|网www.chuibin.com +QQ752018766-

当，由积分发散，因此可以推出也是发散，从而有发散。

第三章 瑕积分的定义与性质讨论

3。1 瑕积分的定义

   定义3。1。1[1]  设函数，而在点a的右领域内无界，取，如果极限存在，那么称此极限为无界函数在上的广义积分，记作