摘要：微分算子谱理论的研究历史有大约 200 年了，它在数学物理中的应用十分广泛，在 数学中，它与微分方程，复变函数等学科有紧密的联系，在物理中，很多方程的求解最 后都会和微分算子的谱理论联系起来，分离变量法就是一个很简单的例子。微分算子谱 理论起源于 1830 年代 Strum 和 Liouville 的研究工作，本文总结了自伴算子的谱的相关 知识，主要研究了 Strum-Liouville 算子中特殊的一类——Schroedinger 算子即系数 p 恒等于 1 时候的算子，给出一个在某种条件下它只具有离散谱的充分条件以及给出了在 势函数 q 取值非负情形下的 Malchanov 在 1952 年给出的定理的另外一种证明。

关键词 自伴算子 自伴延拓 离散谱 本性谱 Strum-Liouville 算子 最小算子

毕 业 设 计 说 明 书 外 文 摘 要

Title The Discreteness Condition for One-Dimentional Schroedinger Operator

Abstract：The history of the research of the spectral theory of differential opreator is almost 200 years.It has a wide application in mathematics and physics.In mathematics,it is closely related to differential equations and comlex function and so on.In physics,many solutions of equqtions are finally connected with the spectral theory of the differential operator,there is a very simple examlple is that the separation of the variable method.It is originated from the research of Sturm and Liouville in the 1830s.This paper summarizes the knowledge of the self-adjoint operator.It mainly studies the special class of Sturm-Liouville operator ,that is,the coefficient p is equal to 1,named Schroedinger operator,gives a sufficient condition for the discreteness of the Schroedinger operator and gives another proof of the theorem given by Malchanov in 1952 under the nonnegative case of the potential function q.

Keywords self-adjoint operator self-adjoint extension discrete spectra essential spectrum  Strum-Liouville operator  minimal opreator

目 次

1 引 言 1

2 预备知识 2

2.1  最大算子与最小算子 2

2 . 2 自 伴 算 子 的 谱 族 2

2 . 3 自 伴 算 子 谱 的 分 类 5

3 结 论 和 证 明 7

3.1 引理 7

3.2 结论 8

结论 16

致谢 17

参 考 文 献 1 8

图 1 1 0

1 引言

微分算子的谱理论和特征函数的研究，在微分方程中有重要的应用，它的研究起源，可 以追溯到 1830 年代 Sturm 和 Liouville 的研究工作，大约有二百年的时间了。微分算子谱理论 这个工作现在已经和数学上很多分支有重要的联系了，比如前面提到的微分方程，还有概率 论，特殊函数等。而且现在已经是量子力学的基本数学工具了。它在物理上的应用，也催生 了更多的数学分支，比如广义函数和装备 Hilbert 空间等。所以，这个领域有很好的活力。在半直线0,   上考察二阶常微分算子