性质4。7 若是非负矩阵，则也是非负矩阵。

证  因为，均为非负矩阵，即

由定义，可得   

即也是非负矩阵。

定义4。8 设是阶实对称阵，如果对任意，且，都有，则称为正定矩阵。记为。

定义4。9 如果矩阵是实对称矩阵，并且对于一切，有，则称矩阵为半正定矩阵。 记作。 如果，记作。

性质4。8 设是正定矩阵，则也是正定矩阵。来.自^优+尔-论,文:网www.chuibin.com +QQ752018766-

性质4。9 设是半正定矩阵，则也是半正定矩阵。

证  因为是正定（半正定）矩阵，则的特征值都是正数（非负数）。 由性质3。7，有

,

于是的特征值大于零（或大于等于零），则也是正定（半正定）矩阵。

4。2  亚正定矩阵

1970年，C。R。Johnson提出了一般化的矩阵正定的概念，后来屠伯埙又提出了亚正定矩阵这一概念。 不同于正定矩阵，亚正定矩阵的Kronecker积并不一定还是该矩阵。 所以我们接下来研究一下究竟什么条件下，亚正定矩阵的Kronecker积会是亚正定矩阵。

用表示复数域上复矩阵集合，表示复数域上维列向量的集合，表示的行列式，表示的特征值，：的最小特征值（当的特征值都是实数时），则是复数的实部。