幂级数在数学分析中的应用(2)
1预备知识.
1.1.幂级数的定义
定义 ： = (1)
的数项的函数项级数称为幂级数,其中 为幂级数的系数,为了书写方便我们 ,即：
= = (2)
1.2.幂级数的性质
性质 ：已知幂级数 ，若幂级数 ，则幂级数的收敛半径 ,且 幂级数都绝对收敛,在开区间 的两个端点处收敛与否与幂级数本身有关.
性质 ：若幂级数 的收敛半径为 则幂级数 在收敛区间 内的和函数 是连续函数.
性质 ：若幂级数 的收敛半径为 则幂级数 在收敛区间 内可逐项可微，且可微后得到的幂级数与原级数的收敛半径相同.
性质 ：若幂级数 在收敛区间 内所确定的和函数为 ，则 ，有
在 处可导，且
在 与 上可积，且
总之，幂级数的和函数 在收敛区间内可逐项求导与逐项积分.
1.3.幂级数的运算法则
若幂级数 与幂级数 的收敛半径分别是 ,则有
其中 为常数，
1.4.泰勒级数与麦克劳林级数
函数的幂级数展开式有两种形式，一种形如 称为函数在 处的幂级数.另一种形如 称为标准式，即函数在0处的幂级数.
定义 ：若函数 在 内可展成 的幂级数，就称这个级数为函数 在 处的泰勒级数.即：
.
定义 :函数 在 处的展开式称为麦克劳林级数.即：
.
1.5.几种常见的函数幂级数展开
2.幂级数的应用
2.1.幂级数在求导中的应用
求导数是数学分析中最基础的知识，有些求导问题中用幂级数法更简便.
例1 求 的 阶导数 .