3。2  整除、余数问题

    利用二项式定理证明整除性和求余项问题,通常需将底数化成两数的和与差的形式,且这种转化形式与除数有密切的关系,再用二项式定理展开,只考虑后面（或者是前面）一、二项即可。

    例2  求证 能被 整除。

    分析  观察题设中 能化成 ,故可将 化成 ,构造二项展开式证题。

证明  由观察可知,

所以 能被 整除。文献综述

    例3   被 除所得的余数是多少？

    分析   能化成 或者 ,再利用二项式展开求解。

    解法一   ,

展开式中前 项都能被 整除,余下两项为 ,而 除以 所得的余数为 ,因此  被 除所得的余数是 。

    解法二   

展开式中前 项均能被 整除,只需求最后一项除以 的余数。

    由 ,

展开式中前 项均能被 整除,后两项和为 ,因原式为正,可从前面的数中分离出 ,结果为 ,因此  被 除所得的余数是 。

    注  由此题可知,解法一和解法二都是巧用二项式定理,但解法二的过程明显比解法一的繁琐。所以以后在处理相似问题时要先稍作比较再进行计算。

3。3  证明恒等式、不等式问题

    证明组合数不等式时,通常表现为正用或逆用二项式定理,然后结合不等式证明的方法进行论证。我们需注意能巧妙地构造二项式并且灵活地运用放缩法。