摘要：不等式在高中阶段以及相应的竞赛中具有重要地位，这一点可以在每年的高考卷与竞赛试卷中可以看出。不等式与函数、数列、解析几何、向量运算几乎所有的数学概念有着千丝万缕的关系。本文将从高考和竞赛的角度出发，研究不等式的证明方法以及解题技巧，推广一些高考题，对竞赛进行一些方法总结。最后对高考与竞赛中的不等式证明题的联系进行一个总结。

Inequality plays an important role in the high school stage and the corresponding competition, which can be seen in the annual college entrance examination paper and competition test paper.Inequalities are  inextricably linked to the mathematical concepts of functions, sequence, analytic geometry, and vector operations.This paper will study the proof method of inequality and the technique of solving the problem from the Angle of college entrance examination and competition, and popularize some college entrance examination questions, and summarize some methods of the competition.Finally, a summary of the relationship between the college entrance examination and the inequality proof in the competition is made.

关键词：不等式； 高考； 竞赛；分析

Keyword: Inequality； The university entrance exam； Competition；Analysis

目录

一、引言 4

二、研究背景 4

三、高中阶段证明不等式的基本方法 5

四、对高考两类不等式证明题的研究和推广 7

（一）代数不等式 7

（二）数列不等式 14

五、对竞赛不等式证明题的研究 22

（一）利用放缩法的一类证明题 22

（二）利用多元平均不等式的一类证明题 25

六、归纳与结论 28

参考文献 30

致谢 30

一、引言

不等式的证明方法有很多种，其中最基本的方法就是作差、作商的比较方法。当构造了一个恒等式，舍去其中的非负非正量，就可以得到一些不等式[1]。在这个基础上可以引申出很多不同的技巧，运用很多不同的思想，因此不等式题目的出现，往往考察的是一些综合问题的应用，所以研究不等式的证明方法以及应用研究，有利于中学阶段综合知识的运用，同时也可以学习很多的数学思想，对于中学阶段的学生理解数学有着至关重要的作用。在学习整个数学的过程中，后面会学习到更高层次的不等式，不等式的应用会用来越明显，因此，研究不等式，特别是中学阶段有关于不等式的证明方法以及竞赛中的一些应用，显得尤为重要。

通过比较和合理的分类研究高考中不等式证明题型中两类经常出现的代数不等式证明以及数列不等式证明，更好的掌握高考中不等式内容，理解课程标准中所要求的相关内容。对竞赛有兴趣的读者也可以通过本文，理解竞赛问题的基本思路以及方法，同时可以领悟在不等式中的数学思想，这些思想在竞赛题体现的更多。

二、研究背景

不等式是初等数学的核心内容，在现行的高中必修和选修教材中，不等式一般只是涉及到一些著名的不等式及其应用，学习的内容比较基础，但是不等式问题却是高考考察的一个重点，历年的高考题中，直接或者间接考察有关不等式的知识的分数约占总分的三分之一。不等式在高中阶段的竞赛以及之后的各级各类的考试中，有关于不等式的求解以及应用，都是一个比较热门的话题。