广义狄利克雷级数的收敛性质研究+文献综述(2)
在这其中所包含的黎曼猜想是关于黎曼ζ函数
的零点分布的猜想。
黎曼ζ函数ζ(s)，是级数表达式（n为正整数）
（Re(s)>1）
在复平面上的解析延拓。要对这一表达式进行解析延拓的原因，是这一表达式仅仅只适用于复平面上的实部Re(s)>1的s所在的区域（否则的话级数将不收敛）。
黎曼ζ 函数满足下面这一代数关系式：
从这个关系式中我们可以看到，黎曼ζ函数在s=-2n(n为正整数)处的取值是0。因为sin(πs/2) 为零。复平面上的这一类使黎曼ζ函数取值为0的点，我们称为是黎曼ζ函数的零点[3]。因此s=-2n（n为正整数）是黎曼ζ函数的零点。这些零点性质简单、且分布有序，被称作是黎曼ζ函数的平凡零点[3]。而除了这些平凡零点外，黎曼ζ函数还有许多其它不同的零点，它们的性质远比这些平凡零点更为复杂，被称之为非平凡零点[3]。
黎曼猜想提出：黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于复平面上Re(s)=1/2 的直线上[3]。意思就是说，函数ζ(s)的所有非平凡零点的实部全都是0.5。若用 来表示函数ζ(s)在直线段Re(s)=1/2，0<Im<T上的零点个数，则黎曼猜想等价于： （对T>0）。黎曼猜想与哥德巴赫猜想合起来即为希尔伯特第八问题，一直是至今仍未解决的世界难题。哈代（Hardt.G.H）于1914年首先证明，ζ(s)在直线Re(s)=1/2上有无穷多个零点。
在上面所讲的黎曼猜想中，黎曼ζ函数可以用各种整体L函数（global L-function）来替代[3]。通过这种替换我们能够得到黎曼猜想的不同类型的推广。这些各种类型的推广猜想所描述的就成为了不同L函数的非平凡零点的分布规律。现在许多的数学家都相信这些推广而来的猜想是正确的。不过在这其中，仅有一小部分函数域情形下的推广到今天为止被证明是正确的。在这些推广猜想当中，用来描述狄利克雷L函数的黎曼猜想的常被称为“广义黎曼猜想”。
描述狄利克雷L函数的广义黎曼猜想最初可能是由Piltz于1884年提出来的。与最原本有黎曼提出的黎曼猜相类似，广义狄利克雷猜想对素数分布的研究来说同样十分重要。
狄利克雷L函数[4]
要通过狄利克雷特征χ来定义。狄利克雷特征是一种算术函数，是由有限阿贝尔群Z/kZ的特征所构成的函数。对确定的k都相应地确定狄利克雷特征。确定了狄利克雷特征就确定了一个狄利克雷L函数。这两者都是狄利克雷在1831年为了证明狄利克雷定理而引进的。这其中，s可取任意实部大于1的复数。那么这一函数就可以解析延宕为整个复平面上的亚纯函数。广义黎曼猜想所描述的就是，狄利克雷L函数L(χ,s)的所有非平凡零点的实部都是1/2[4]。
当对所有的n都成立χ(n) = 1时，广义黎曼猜想就退化成了前面所说的最原始的黎曼猜想[3]。
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