向量组线性相关性的性质探究(2)
则称向量组 线性相关．
定义 对 文向量组 ,仅当数组 , ,…, 全为0时,才有
则称向量组 线性无关．
定义 对于单个向量 ：若 ,则 线性相关;若 ,则 线性无关．
定义 对于两个向量的向量组,若对应分量成比例,则该向量组线性相关,
否则线性无关.
定义 设有两个向量组 : 及 : , 中每个向量都能由向量组 线性表示,则称向量组 能由向量组 线性表示.若向量组 与向量组 能互相线性表示,则称这两个向量组等价.
定义 向量组的秩：设向量组为 , 若
(1) 在 中有 个向量 , ,…, 线性无关;
(2) 在 中任意 个向量线性相关（如果有 个向量的话)．
称 , ,…, 为向量组 的一个极大线性无关组, 称 为向量组 的秩,记
作：秩 ．
定义 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩;矩阵的列秩就是指
矩阵的列向量组的秩.
定义 在一个 矩阵 中任意选定 行 列,位于这些选定的行和列的交点上的 个元素按原来的次序所组成的 级行列式,称为 的一个 级子式.
1.2 向量组线性相关性的相关定理
定理 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量.
定理 矩阵的行秩与列秩相等且等于矩阵的秩.
定理 矩阵
的行列式为零的充分必要条件是 的秩小于 .
定理 如果齐次线性方程组 （1）
的系数矩阵
的行秩 ,那么它有非零解.
定理 一矩阵的秩是 的充分必要条件为矩阵中有一个 级子式不为零,同时所有的 级子式全为零.
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