空间曲线积分与曲面积分的若干计算方法(3)
（或 ） (2)
就称为函数 在有向曲线 上的曲线积分，又叫第二型曲线积分.
若向量值函数的坐标表达式为：
那么第二型曲线积分通常记作
. （3）
1.2.2 性质
①有向性
在同一条曲线上，沿不同方向的积分，积分值要变号:
.
②可加性
设有向曲线 可分成两条有向曲线： ,则有：
.
同理，推广为有限条有向曲线也成立.
1.2.3 计算方法
1）公式直接计算法
设曲线 的参数方程是
这些函数有连续的导函数，并且不同时为零.另外参数 依次对应于曲线的起点和终点.若向量值函数 在曲线 上连续，则有：
.
此解法要求先将曲线方程化为参数方程，然后套用以上公式求解.
例4 计算积分 ，其中 ，从 轴正向看为顺时针方向.
解 取 的参数方程：
则
2）字母轮换对称解题法
此法应用于字母 ， ， 在积分曲线 处于对称地位，可作如下字母轮换：将 换成 ， 换成 ， 换成 ，由于这是字母位置的一种“轮换”，而积分变量（积分曲线）用什么字母并不会改变积分值，计算可化简为求某积分的3倍.但要特别注意使用这种“字母轮换对称性”简化积分计算的条件是字母 ， ， 在积分曲线（被积表达式）中处于对称位置.
例 5 为球面三角形 的边界线，且从球外看去， 的方向为逆时针方向，求 上的曲线积分 .