德国数学家阿甘得（1777—1855）在1806年公布了虚数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，虚数也能用一个平面上的点来表示。象这样，由各点都对应复数的平面叫做“复平面”，后来又称“阿甘得平面”。高斯在1831年，用实数组（ ）代表复数 ，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合。统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数一一对应，扩展为平面上的点与复数一一对应。高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间一一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法。至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了。

1.2 定义

数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行。比如判别式小于0的一元二次方程仍无解*吹冰`文~论|文/网www.chuibin.com，因此将数集再次扩充，达到复数范围。复数是指能写成如下形式的数 ,这里 和 是实数， 是虚数单位（即 ）。 由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。 复数有多种表示法，诸如向量表示、三角表示，指数表示等。它满足四则运算等性质。另外，复数还指在英语中与单数相对，两个及两个以上的可数名词。

形如 的数称为复数（ )，其中规定 为虚数单位，且 （ 是任意实数）

我们将复数 中的实数 称为复数 的实部（ )记作 ，实数 称为复数 的虚部（ ）记作 。

已知：当 时， ，这时复数成为实数；当且仅当 时，它是实数0；当 且 时， ，我们就将其称为纯虚数。将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模，记作 。即对于复数 ，它的模 

复数的集合用C表示，实数的集合用R表示，显然，R是C的真子集。

1.3 复数如何运算

（1）复数的加减法是: 实部与实部相加减;虚部与虚部相加减

乘法:  

除法:先把分母化为实数，方法是比如分母为 ，就乘上它的共轭复数论文网  (同时分子也要乘上 分母最后化为 分子就变成乘法了设  则 的共轭为 ， ， 共轭就是复数的虚部系数符号取反，即表示为 。

（2）我就以 为例:  ,  ;然后， ，   ， 以及，复数运算当中一些结论，像 ，这类的，或者提供一些公式。    

 （3）                       

复数域

复数可定义为实数 组成的有序对，而其相关之和及积为：