在文献[6]中，作者首先给出了该文所要使用的新的变换，明确阐述了在这个新映射下的黑洞及黑洞数的定义。在这个新变换下的所有黑洞数将以一个新定理的形式呈现。具体方式是，首先给出一个引理，该引理的目的是为了让四位以及四位以上的自然数黑洞问题的证明归结到四位以下的自然数黑洞问题证明。实际上四位以下的黑洞数问题证明的思路是简单直接的。该文中所提出的新定理即在新定义的变换下，对所有自然数而言，他们产生的数列有且只有五个黑洞。自然的利用已经证明的引理说明只需要证明一位、两位、三位以及四位的自然数在这个新的变换下产生的数列有且只有五个黑洞。上述证明分为四种情形来进行讨论。讨论分析的方法与上文所提到的外文文献[7]，也是用统计分析并结合初等代数的方法。首先对一位自然数进行研究分析，这一部分是简单明了的。而后是二位以及三位，实际上在研究过程当中，许多数都能归结到同一种情况当中去，因此即便是考虑所有的二位、三位自然数，它们在新的变换下所产生的数列的不同情形并没有非常的多。最后是考虑四位自然数，方法类似。