摘要不等式反映了各变量之间或变量与常量之间的一种重要关系，在数学领域中属于最基本、最重要的内容；微积分是研究函数的形态的一种很好的工具，在数学领域，尤其是高等数学中站极其重要的地位。本文中所证的不等式只是不等式中的很小的一部份，而对学习不等式的人来说，具有借鉴意义。本人在此文章中阐述了应用微积分的相关知识，结合典型实例，对用微积分理论来证明不等式的方法进行了探究与归纳，并总结出几种求证不等式的方法，其在实际应用中具有较高的价值。47009

Abstract Inequality reflects an important relationship between all variables and constants with variables, belongs to the most basic and important content in the field of mathematics; calculus is a research function form very good tool, in the field of mathematics, particularly in higher mathematics, stood an extremely important position. The inequalities are proved in this paper that is a small part of inequalities, however, to learn the inequality of people, has the reference meaning in this paper. So I elaborate the concept about applications of calculus knowledge, explore and summarize how to using calculus to prove inequalities with a few typical examples. And I also summarize several methods of proving inequalities, it has high value in practical application.

毕业论文关键字： 不等式 微积分理论 辅助函数

Keywords: Inequality; Calculus theory; Auxiliary function

目    录

1.引言 4

1.1 微积分简介 4

1.2 不等式简介 4

2．用微积分理论证明不等式常见的几种方法 5

2.1用定积分的性质证明不等式[2][10] 5

2.2用微分中值定理证明不等式 6

2.2.1微积分中值定理 6

2.2.2 证明不等式 7

2.3利用函数的单调性证明不等式法 9

2.4利用函数的最值证明不等式法 10

3．用微积分理论证明不等式其他几种方法 11

3.1 用函数的凹凸性证明不等式 11

3.1.1用函数的凹凸性证明 11

3.1.2用Jensen不等式证明 12

3.2 用泰勒公式证明不等式法 13

3.3用幂级数展开式证明不等式法 14

3.4 用Cauchy-Schwarz不等式证明法 15

3.5引入参数证明不等式法[11] 15

3.6 利用二重积分性质来证明不等式 16

4、结束语 17

参考文献 18

致谢 18

1.引言

1.1 微积分简介

从狭义上讲，数学分析是指通过研究函数进而达到从量到质的方面不断深入研究事物运动变化规律，是研究微积分的基本方法。从广义上讲，数学分析是由微积分演进而来的，但又与微积分有所不同，数分包含实数、复数、微积分、函数等众多数学学科上的分支。然而现在大多数人已经习惯于把微积分和数学分析混淆在一起，使得数学分析几乎变成了微积分的代名词，这种说法其实是不严谨的。实际上，微积分是一种数学思想，也是高等数学中的重要内容之一。