初等几何问题的向量解法+文献综述(2)
立体几何的计算和证明主要到两大问题：首先是解答位置关系，即平行和垂直问题的求证；其次是度量问题，它通常涵盖距离及角度的求解.向量法的介入避免在图形中添加复杂的辅助线，重要的是建立适当的坐标系，标出相关点的坐标，运用向量的知识使得解决立体几何问题更加容易、简捷，其优点是可以使问题数量化、坐标化、符号化、简捷化.
向量的出现为解决初等几何问题开辟了新的方向，本课题主要参考文献[1],[4],[6],[13]，从平面几何和立体几何两个方面，解释了向量方法在解决初等几何问题中起着不可替代的作用.
1 向量的方法
1.1向量的起源及发展
向量首先应用与物理学，经过长时间的发展，才将向量引入解析几何中，并得到逐步完善，成为一套优良的数学工具.
1.2向量的方法
向量法，是指以向量作为工具，从所要求的条件入手，识别与向量相关的知识，并且转化成以向量为背景下的形式，并且借助向量的相关运算知识，回到原问题中达到解决问题的目的.
1.3向量的重要知识
向量的加法：计算两个向量和的计算，称为向量的加法.
运算律: + = + （交换律），（ + ）+ = +（ + ）（结合律）
向量的数乘运算
定义：一般地，我们定义实数 与向量 的积的这种运算为向量的数乘运算，记作： .其长度： = . ；其方向：当 <0时 与 的方向相反，当 =0时 = ，故 与 平行.
运算律： (u )=( u) ; ( +u) = +u ; ( + )= + .
向量的坐标表示： =x +y =（x，y）；
向量的坐标运算及重要结论:
若 =（ ， ）， =（ ， ），则有：
2 向量在平面几何中的应用
用向量方法解决平面几何问题可以分为“三步曲”
（1）找出并创建平面几何与向量的相关联系，再把问题中所涉及的几何元素用向量表示出来，最后将平面几何问题转化为向量问题；
（2）利用向量知识，研究几何元素之间的关联；
（3）将运算结果改换成几何元素.
（4）简述：形到向量 向量运算 向量及数再到形.
2.1利用向量法处理线线、点点之间的关系
2.1.1利用向量证明线段相等
例 如图，平行四边形 中，
点E,F分别是 , 边的中点，
分别与 交与 两点，你能发现
之间的关系吗?
分析 假设 .但是用传统的方法去解决，感觉无处下手，所以当用向量法来接时，问题变得简单多了.
解 设 = ， = ， = ，则 = +
由于 与 共线，故设 =n( + ),n r
又因为 与 共线，
所以设 =m =m( - )
因为 = +
所以
= +m( - )
因此n( + )= +m( - )
即
(n-m) +(n+ ) =
由于向量 ， 不共线，
解得: =
所以 = ，同理 = ,于是 =
故
2.1.2用向量法证明线线平行
例 若梯形两对角线中点的连线与底边平行，试证明.
分析 要证明 ，则可以引用两个
非零向量 共线的充要条件
（其中 是实数）的知识来证明.
证 如图所示，设
因为
所以一定存在实数 使得
因为 为 的中点
所以
又 是 中点所以 与 平行 例 已知 且 ,求证：