广义逆矩阵的计算及其应用+文献综述(2)
中任意一个或几个，则矩阵X就称为矩阵A的广义逆矩阵。这4个方程称为Penrose方程，由于X只需要满足4个方程中的任意一个或某几个，因此通常按照A的广义逆矩阵X所满足的方程对广义逆矩阵进行分类。
定义2.2[1] 对于矩阵 ，若矩阵 满足Penrose方程中的第i,j,…,l个方程，则称X为A的｛i,j,…,l｝－逆，记为 ；所以的 构成一类广义逆，记为A｛i,j,…,l｝。按照这样的分类方法，矩阵A的广义逆矩阵总共可分为15类，其中应用较多的有以下几类广义逆矩阵：
A{1}：矩阵的｛1｝－逆称为最基本的广义逆矩阵，通常记为 。它与相容线性方程组Ax=b的解有着密切联系。
A｛1,2｝：矩阵的｛1,2｝－逆称为自反广义逆矩阵。此时，矩阵A和X的地位完全一样，它们互为｛1,2｝－逆。
A｛1,3｝：矩阵的｛1,3｝－逆称为最小二乘广义逆矩阵。在实际问题中许多线性方程组没有解，此时可以求方程组的最小二乘解，而矩阵的｛1,3｝－逆在最小二乘解的求解中起着非常重要的作用。
A｛1,4｝：矩阵的｛1,4｝－逆称为最小范数广义逆矩阵。当相容线性方程组Ax=b有无穷多个解的情况下，人们往往需要找到范数最小的解，A的｛1,4｝－逆在最小范数解的求解中起着十分重要的作用。
A｛1,2,3,4｝：矩阵的｛1,2,3,4｝－逆称为Moore—Penrose逆，通常记为 ，Moore—Penrose逆 是应用最多、最广泛的广义逆矩阵。
在这些常用的广义逆矩阵中，矩阵的｛1｝－逆是最基本的，而矩阵的Moore—Penrose逆 同时满足4个Penrose方程，它满足所有广义逆矩阵的所有性质，是应用最多、最广泛的广义逆矩阵。 是A的其余广义逆矩阵的特列。所以本文将主要讨论 的算法及其应用。
2.2 广义逆矩阵的性质
定义2.3[2] 设矩阵 （r＞0），如果存在一个列满秩矩阵 与一个行满秩矩阵 使得 ，
则称上式为 的一个满秩分解。
定理2.1[3] 对任意矩阵 （r＞0），必存在着矩阵 和 使 。
定理2.2[1] 设 ，则 具有下列一些性质：
通常意义下的你矩阵 实际上是 的一种特殊情况，凡是 满足的性质， 肯定满足；反之， 满足的性质，对于一般情形下的 并不一定成立。
3 广义逆矩阵的计算
广义逆矩阵在解线性方程组中有着重要作用，而利用广义逆矩阵解线性方程组首先需要求解相对应矩阵的广义逆矩阵。
3.1 基于满秩分解的方法
定理3.1[4] 设 的一个满秩分解为A=FG，其中 ， 。则
例3.1 求下列矩阵的Moore-Penrose 逆矩阵 。
在matlab中运行结果如下：
3.2 基于奇异值分解的方法
定理3.2[1] 对于任意矩阵 ，都存在酉矩阵 和 ，得到A的奇异值分解为 ，
式中：∑= （ , , , 为A的r个非零奇异值）。则
例3.2 设 ，利用矩阵的奇异值分解求 。
解：根据计算 的奇异值分解的方法可得 的奇异值分解为 式中
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