实际上，求解 的原函数问题其实就是最简单形式的微分方程, 再对该微分方程中 求导数就转化成求解二阶微分方程的问题. 然而，到目前为止，只有少数一些简单的微分方程能够求得它们的解析解. 但是，即使我们找不到大多数微分方程的解析解，却还是能够确定它们的解的一些重要性质，比如说有界性，而有界性就是微分方程所要研究的一种重要性质. 现阶段，对于一些低阶微分方程有界性的探讨，又常常是和生活中的实际问题相联系的，这样也就具有一些重要的意义. 对于它的研究，无论在理论上还是在应用上，都有非常重要的意义.

1.2研究现状

关于Gronwall-Bellman型积分不等式的研究已经取得许多结果 . 文献  

[1]引用Gronwall不等式证明了一阶微分方程解的存在唯一定理中的“唯一性”，并且给出了微分方程奇解的验证方法. 文献[2]指出一些文献在证明Gronwall不等式时所出现的疏误，并给出改正措施. 文献[4]通过构造辅助函数的方法，给出了Gronwall不等式的一个新证明，并利用其证明一阶微分方程解的唯一性. 文献[7]将经典的Gronwall不等式从有界闭区间推广到无穷区间上，用其推广的结果研究一阶非线性微分方程终值问题解的存在性.

关于二阶微分方程解的有界性也取得了不少研究结果 ，文献[8]建立了非线性方程

 的零解稳定的充分条件和关于线性齐次方程 

的所有解有界的充分条件. 文献[5]主要讨论了线性齐次方程                               

解的有界性问题. 但是，文中的主要结果有着明显的疏漏之处. 

1.3本文主要工作

在查阅文献资料的过程中,源!自%吹冰>文)论(文]网[www.chuibin.com，发现了已有的结果证明有疏漏之处. 本文主要工作之一就是改正了已有结果的疏漏. 一方面，关于格朗瓦尔不等式的证明过程不严谨，给出了规范的证明, 并且给出了该不等式的简单应用.应用该不等式去证明一阶微分方程解的存在唯一性定理中的唯一性. 另一方面，借助于格朗瓦尔不等式，讨论了一类二阶变系数线性微分方程解的有界性及其简单推广，指出了已有文献中的疏漏之处. 

2 格朗瓦尔不等式及其应用

2.1格朗瓦尔不等式                      

引理2.1 （Gronwall-Bellman型积分不等式）假设 是一个非负的常数， 、 分别是在区间 上的两个连续且非负函数，如果满足下列条件：

那么，有证法一：假设 ，那么，可以得到 . 不等式两边同时乘以 得到：

不等式两边同时乘以 ，可以得到：进一步可以化为：，

即，

不等式两边从 到 积分，可以得到：

 ，又因为 ，所以可以得到： ，

所以证毕.以上是关于Gronwall-Bellman型积分不等式的一种证明方法，下面给出另一种证明方法.