摘  要通过矩阵正定性的等价情形来推导出二元隐函数存在极值的充分条件，并给出实例.

毕业论文关键词：隐函数  正定性  极值

 Solving the Extreme Value of Implicit Function by Positive Definiteness of Matrix

Abstract

 By the equivalent condition of the positive definiteness of matrix, we can acquire the sufficient condition of the existence of the extreme value of two variable of implicit function, and then give some examples to apply these conclusions of the sufficient condition.51174

Key Words: Implicit function  Positive definiteness property  Extreme value

目  录

摘要-Ⅰ

Abstract--Ⅱ

目录-Ⅲ

0 引言1

1 二元隐函数极值的若干充分条件2

2 一些应用7

例2.1 -7

例2.2 -8

例2.3 -9

参考文献--14

致谢-15 

0 引言

极值问题是数学分析的重要内容，它在各领域内都有广泛的应用，本文主要讨论矩阵正定性的等价条件[1]在二元隐函数的极值问题中的应用，并举出了应用实例.在利用矩阵正定性解决隐函数极值问题时，我们需要多次使用到 矩阵的相关知识，下面就给出关于隐函数的 矩阵相应定理及其证明，以便于读者理解.

设 元函数 为函数 所唯一确定隐函数，函数 存在驻点 ，且 ，又 在点 的某个邻域内具有二阶连续偏导数，可证矩阵

为函数 在点 处的 矩阵，且为实对称矩阵.[2]证  显然，由二阶偏导数的连续性可知， 是实对称矩阵.因为 为函数 的驻点，则有 ，由隐函数求导法则可知，因为 ，

从而得到 ，  ，其中 .又由复合函数求导公式知 ，则在点 处，有

 .依据显函数的 矩阵公式推导可得，隐函数 在点 处的 矩阵为

 1 二元隐函数极值的若干充分条件

本文主要利用矩阵正定性的等价条件来推导出二元隐函数存在极值的充分条件，所以为使读者更好理解此文，下面给出 矩阵为正定或负定时，隐函数极值存在的情形.

定理1.1 设函数 为 所唯一确定隐函数 存在驻点 ，且 ，又 在点 的某个邻域内具有二阶连续偏导数，称矩阵

 ,

为函数 在点 处的 矩阵.

(1)若矩阵 是正定矩阵，函数 在点 处取得极小值；

(2)若矩阵 是负定矩阵，函数 在点 处取得极大值.[3]

证  由隐函数求导法则和复合函数求导公式知，在驻点 处有 ，

则函数 在点 处的泰勒展开式为：因为 记 ，

则有 ，其中表达式 是以 为矩阵的实二次型.

对于 ，

当二次型 为正定二次型时，即有 ，则 ,其中 的取值与 均无关，有 .那么在充分小的 的某个邻域内，当 时，有

 ,

可知函数 在点 处取得极小值；

当二次型 为负定二次型时，即有 ，则存在 ，其中 的取值与 均无关，有 .那么在充分小的 的某个邻域内，当 时，有

 ，

可知函数 在点 处取得极大值.

定理1.2 设函数 为 所唯一确定隐函数， 存在驻点 ，且 ， 在点 的某个邻域内具有二阶连续偏导数，当 时，则有

（1）若 与 符号相异，函数 在点 处取得极小值；

（2）若 与 符号相同，函数 在点 处取得极大值；

证  已知函数 在点 处的 矩阵为 .

由判断矩阵正定性的充要条件知，当矩阵 所有顺序主子式大于0时，矩阵 是正定的，有

 , ，化简得

 , ;当矩阵 奇数阶顺序主子式全小于0，偶数阶顺序主子式全大于0时，矩阵 是负定的，有