向量在高中数学中的应用(2)
例1 已知向量m ⃗=(sinA,cosA)，n ⃗=（1，-2），且m ⃗•n ⃗=0，
（1）求tanA 的值；
（2）求函数f(x)=cos2x+tanAsinx (x∈R)的值域
解 （1）m ⃗•n ⃗=sinA-cos2A=0
因为cosA≠0，所以tanA＝2
（2）由（1）知 f(x)=cos2x＋tanAsinx
=cos2x+2sinx
=1－2sin2x＋2sinx
=－2(sinx-1/2)2+3/2
因为x R，所以sinx∈［-1,1］
当sinx＝1/2时，f(x)有最大值3/2
当sinx＝-1 时，f(x)有最小值-3.所以求函数f(x)的值域是［-3,3/2］
评注：本题考查的主要内容为向量与三角函数求值运算的综合，用平面向量的数量积运算来解决问题。考察了向量的基本运算，难度小，运用简单。
例2 已知(a ) ⃗=(√3 sinx,m+cosx),b ⃗=(cosx,-m+cosx),且f(x)= (a ) ⃗•b ⃗
（1）求函数f(x)的解析式
（2）当x∈[-π/6,π/3]时，f(x)的最小值为-4，求此时的函数f(x)的最大值。并且求出此时相对应的x的值
解 (1) f(x)= (a ) ⃗•b ⃗=(√3 sinx,m+cosx) (cosx,-m+cosx)
=√3 sinxcosx+(m+cosx)( -m+cosx)
=√3 sinxcosx+cos^2x-m^2
(2) f(x)=(√3 sin2x)/2+(1+cos2x)/2-m^2
=sin(2x+π/6)+1/2-m^2
由于x∈[-π/6,π/3]，所以2x+π/6∈[-π/6,5π/6],所以sin(2x+π/6)∈[-1/2,1]
当sin(2x+π/6)=-1/2时，f(x)有最小值。
〖f(x)〗_min=-1/2+1/2-m^2=-4
m=2或m=-2
所以 〖f(x)〗_max=1+1/2-2=-1/2
此时 2x+π/6= π/2,x= π/6
评注：这道题目与例1相似，第一步主要考察的是向量基本知识，第二步则考察向量在三角函数中的应用，主要注意的是运算问题及三角函数的基本概念。难度不大，较易解答。
例3 设向量(a ) ⃗＝(4cos α，sin α)，(b ) ⃗＝(sin β，4cos β)，c ⃗＝(cos β，－4sin β)．
(1)若(a ) ⃗与(b ) ⃗-2(c ) ⃗源`自,吹冰`文.论"文'网[www.chuibin.com垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求|(b ) ⃗＋(c ) ⃗ |的最大值；
(3)若tan〖α tanβ 〗＝16，求证：(a ) ⃗∥(b ) ⃗.
解 （1）由(a ) ⃗与(b ) ⃗－2(c ) ⃗垂直，
可以得到 (a ) ⃗•((b ) ⃗-2(c ) ⃗)＝(a ) ⃗•(b ) ⃗-2(a ) ⃗•c ⃗，
即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)=0，tan(α＋β)=2.
（2）|(b ) ⃗＋(c ) ⃗|^2＝((b ) ⃗＋(c ) ⃗)^2＝(b ) ⃗^2+(c ) ⃗^2+2(b ) ⃗•(c ) ⃗
＝sin2β＋16cos2β＋cos2β＋16sin2β＋2(sin βcos β－16sin βcos β)
＝17－30sin βcos β
＝17－15sin 2β
当sin 2β=-1时，|(b ) ⃗＋(c ) ⃗ |^2有最大值，最大值为32，所以|(b ) ⃗＋(c ) ⃗ |的最大值为42.
证明 （3）由tan αtan β＝16，可以得到sin αsin β＝16cos αcos β，
即4 cos α•4cos β－sin αsin β＝0
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