换元思想在常微分方程中的应用研究(2)
1.换元思想在变量分离方程中的应用形如
的微分方程称为变量分离方程，可以利用分离变量将原来的方程化为
再利用积分两边积分求方程通解.这是基本的最简单类型，很多类型的方程通过适当变换代换化为该种类型.
1.1 在齐次微分方程中的应用
形如
的方程称为齐次方程，可引进新变量 ，令 代入原方程，得
上式是关于变量 和 的可分离变量的方程，经分离变量得
两边积分得 ，再用 代换 就得到齐次方程的解.
例1 解方程
解：令
分离变量，再两边积分，化简可得：
再代入原变量，可得方程的通解：
1.2 在形如 的方程中的应用
形如
的方程，令 ，可化为变量分离方程
例2 解方程
解：这个方程既非分离型，也非线性型.但我们通过变形可将其化为齐次型方程：
1.3形如 的常微分方程.形如
的方程（其中 是已知实数），换元令 ，可将方程化为分离变量方程，将 代入方程，整理化简后可得：
这已是分离变量方程了，故形如
的方程通常是指标为 的广义齐次方程.
例3 解方程 .
解： 将 分别看作 次变量时，要满足方程左边为齐次式，则 应满足：解得
,因此原方程是指标为 的广义齐次方程.
令 , 则 代入原方程整理得：
,
分离变量，再积分，整理得：
,
代回原变量，得原方程的通解：
（c为常数）.
1.4 形如 的方程
此类方程的求解我们同样可先运用换元思想把它化为变量分离方程，再用求解变量分离方程的方法进行解答.
令 ，即 ，则方程变为
此时原方程已化为变量分离方程.具体的解题过程我们结合下面的例子详细演示.
例4 求方程 的解解 方程可变形为
所以相应的当令 时，所求解的方程变为
两边积分得
， 为任意正常数
代入 可得到原方程的解为 .
另外， 也是方程的一个特解.
注1：以上解题过程实质上是将原方程中的一部分看成一个整体，这里被看成整体有 ，然后令 分别等于它们再进行求解.这种换元方法我们称为整体换元法.
2 在一阶隐式微分方程中的应用
定义：形如 (1)
的方程,我们称之为一阶隐式微分方程.
针对这类方程，我们仍可用换元思想予以求解.下面对于这类方程的求解我们可分两种情况来分别讨.
2.1 在能从 中求解出 的方程中的应用
如果能从 中能求解出 ，就可得到一个或者几个显式方程
假如能利用初等积分的方法解出上述显式方程的解，那么我们进而可得出方程（1）的解.
例如对于方程 的求解，原方程可化简为，进而可求出
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