摘要：文章从多个角度挖掘并证明了幂零矩阵的很多性质，并列举了幂零矩阵在解决矩阵问题中的广泛应用，充分体现了幂零矩阵在解决矩阵问题中的重要作用，这对于我们解决相关代数问题具有很大的帮助。

毕业论文关键词：幂零矩阵，性质，判定，应用53508

Abstract： In this paper, we find characteristics of nilpotent matrix in many different respects, and explain its extensive application by many examples fully. It shows us the importance of the nilpotent matrix in solving lots of other matrix problems effectively. It will also help us solve some problems of algebra.

Keywords: nilpotent matrix, characteristic, judgment, application.

目  录

1前言 4

2幂零矩阵的定义 4

3幂零矩阵的性质 4

4幂零矩阵的判定 6

5幂零矩阵的应用 7

6结论 11

参考文献 12

致  谢 13

1、前言

代数学中关键的一个知识点就是矩阵，而幂零矩阵又是一种非常重要的矩阵，文章从多个角度挖掘了其很多性质并进行了相关的证明，由通过几个定理和引理研究了幂零矩阵的几种判定方法，另外也列举了幂零矩阵在解决矩阵问题中的广泛应用，充分体现了幂零矩阵在解决矩阵问题中的重要作用，这对于有效解决代数问题也有举足轻重的作用.

2、幂零矩阵的定义

定义 设矩阵 是 阶矩阵，若存在正整数 ，使得 ，则称 是幂指数为 的幂零矩阵.

例 矩阵 是一个三阶矩阵，由于 ，

故矩阵 是幂零指数为2的幂零矩阵.

3、幂零矩阵的性质

3.1引理 

哈密顿-凯莱定理  设 是数域 上一个 阶矩阵， 是 的特征多项式，则

 .证明 略.

3.2 性质

性质1 一个数乘幂零矩阵是幂零矩阵.

证明 设矩阵 是 阶幂零矩阵，则存在正整数 ,使得 ，

所以矩阵 是幂零矩阵.

性质2 幂零矩阵的 次幂是幂零矩阵.

证明 设矩阵 是 阶矩阵，若存在正整数 ，使得 ，

则 .

性质3 与幂零矩阵相似的矩阵也是幂零矩阵.

证明 设矩阵 是幂零矩阵，即存在正整数 ，使得 ,

已知矩阵 可逆，则矩阵 是矩阵 的相似矩阵，

 ，所以矩阵 是幂零矩阵.

性质4 幂零矩阵都不可逆.

证明 设矩阵 是 阶矩阵，若存在正整数 ，使得 .假设矩阵 可逆，则 故 也可逆.

这和 矛盾，所以幂零矩阵都不可逆.

性质5 若矩阵 是幂零矩阵，那么矩阵 不可逆，但矩阵 和矩阵 均可逆，其中矩阵 是单位阵.

证明 由 ，可知 =0，所以 ，故 不可逆.

由于 源'自:吹冰]'[论.文'网"]www.chuibin.com

当 时，分别可得 ， 可逆.

性质6 幂零矩阵的所有特征值都是零，所有特征值都为零的矩阵一定是是幂零矩阵.

证明 设矩阵 是 阶矩阵，若存在正整数 ，使得 ，设 是矩阵 的任一特征值， 是矩阵 的属于特征值 的一个特征向量，有 ，等式两边分别左乘矩阵 ，那么就有 ，所以 ，所以 .

如果矩阵 的特征值全等于零，由哈密顿-凯莱定理知， =0，根据幂零矩阵的定义可知，矩阵 是幂零矩阵.

性质7 幂零矩阵 的转置 和伴随矩阵 都是幂零矩阵.

证明（1）设矩阵 是 阶矩阵，若存在正整数 ，使得 ，