用拓扑理论来讨论数学分析中的一些问题(2)
1.1关系
定义1.1.1[2] 设 和 是两个集合，集合 称为集合 与集合 的笛卡儿积，记作 ,读为 叉乘 .
定义1.1.2[2] 设 , 是两个集合.如果 是 与 的笛卡儿积 的一个子集，即 ,则称 是从 到 的一个关系.
定义1.1.3[2] 设 是从集合 到 的一个关系，即 .如果 ，则我们称 与 是 相关的，并且记作 ，如果 ，则 的子集
叫做集合 对于关系 的像集，或者简称为集合 的像集，或称为集合 的 像，并且记作 , 称为关系 的值域.
定义1.1.4[2]已知 ，点 ，定义 的原象 为集合 ，而已知 的一个子集 ，定义 的原象 为集合 .
对于函数 ，点 的原象是在 中经过 映射到 的点的集合.而集合 的原象是 中经 映射到 上的点的点集．
定义1.1.5[2]设 是从集合 到集合 的一个关系，即 .这时笛卡儿积 的子集 是从集合 到集合 的一个关系我们称为关系 的逆，并且记作 .如果 ，那么 的子集 是集合 的 .
定义1.1.6[2]设 是从集合 到集合 的一个关系，即 ， 是从集合 到集合 的一个关系，即 ，集合
，是迪卡儿积 的一个子集，即从集合 到集合 的一个关系，此关系称为关系 与关系 的复合或者积，记作 .
定理1.1.1[2]设 是从集合 到集合 的一个关系， 是从集合 到集合 的一个关系， 是从集合 到集合 的一个关系.则：
证 (1)设 意即 这就意着当且仅当 ，而这又当且仅当 ，也就是 .所以我们证明了 .
(2)和(3)的证明都像(1)同样根据定义显然可证.
例1.1.1若 ，定义为 试求 、 的原象.
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