摘 要：正定矩阵在矩阵理论中占有重要地位，应用的领域也较广.本文主要探讨矩阵正定的相关条件.在简单地介绍矩阵正定性的定义后重点讨论它的有关判别方法.全文分为三个部分，第一部分简单地介绍矩阵的正定性的定义.第二部分给出正定性矩阵的判别方法以及相关应用的实例.最后给出其他一些矩阵正定的条件.54669

毕业论文关键词：实对称矩阵，正定矩阵，二次型

Abstract: Positive definite matrix plays an important part in matrix theory, and they are widely used in many fields. This thesis gives some equivalent theorems of real symmetric matrix, and obtains some of the important conclusions of real symmetry positive definite matrix. This thesis is pided into three chapters, the first chapter mainly introduces the definition of qualitative matrix. The second chapter gives the qualitative identification method of the matrix and several examples to illustrate the application of positive definite matrix. The last chapter gives some other ways to judge a matrix.

Keywords: real symmetric matrices, positive definite matrix, quadric form

目  录

1  引言4

2  矩阵正定的概念4

3  矩阵正定若干判别法4

3.1  利用定义4

3.2  利用顺序主子式5

3.3  利用主子式8

3.4  利用主子矩阵9

3.5  利用标准型 10

4  矩阵正定的其他判别方法 11

结论13

参考文献14

致谢15

1 引言

二次齐次多项式是一类十分重要的多项式，我们不仅在几何中会应用到它们，而且还会在数学的其他分支以及物理、力学领域中应用到.其中，正定二次型更是占有十分特殊的地位.正定二次型的系数矩阵也就是实对称正定矩阵，它是一类特殊的正定矩阵.下面我们就来介绍正定矩阵的定义和一些证明方法.

2 矩阵正定的概念

定义1[1]  实对称矩阵 称为正定的，如果二次型 正定.

3 矩阵正定的若干判别法

3.1 利用定义

例1 设 是一正定矩阵， 是一非退化实方阵，则 也为正定矩阵. 

证明 因为 是一实对称矩阵，所以 也是一实对称矩阵，而且对任何的实非零列向量 ，对于 (其中 为非退化矩阵)，因此 ，即 是正定阵.

例2 证明：如果 是正定矩阵，那么 也是正定矩阵.

证明 先证 是实对称阵.因为 ，所以 是实对称得证.

因为 为正定矩阵，因此必存在一个逆矩阵 .构造一向量 ，则对于

 ，有 ， ，有 ，源`自,吹冰`.论"文'网[www.chuibin.com

对于任意的非零向量 ，有

 ，

综上，可证得 为正定矩阵.

例3 证明：如果 、 均是正定矩阵，那么 也是正定矩阵.

证明 先证 为实对称矩阵.

由题意知 ， ， ，所以 为对称矩对

于任意一列向量 ，有 ， ，所以 

 ，所以 为正定矩阵.

例4 假设 是一个 阶的实对称矩阵，那么必存在一个正实数 ，使得 是正定矩阵，其中 是一单位矩阵.