摘要：函数的一致连续性是数学分析中的一个重要概念,本文对函数的一致连续性的概念进行了深入分析,并给出了有限区间和无限区间上函数一致连续性的判别定理，并分别给出了这些定理的证明，同时也总结了一致连续性的一些性质.54902

毕业论文关键字: 函数，连续，一致连续

Abstract:  The uniform continuity of functions is an important concept of mathematical analysis. In this paper, we analyze the concept of uniform continuity deeply and give some discriminant theorems of uniform continuity on the finite or the infinite interval. The proof of the theorem are given respectively and some properties of uniform continuity are also summarized .

Keywords: function, continuation, uniform continuity

目  录

1  引言 4

2  一致连续性的概念 4

3  一致连续性的判定 4

3.1  有限区间上的连续函数的一致连续性 4

3.2  无限区间上的连续函数的一致连续性 6

3.3  函数一致连续性的其他判定定理 7

4  函数一致连续性的性质 9

结论 13

参考文献 14

致谢 15

1  引言

一致连续是数学分析的一个概念，它能够帮助我们理解和解决很多问题 .教材中给出了一元函数一致连续性的的定义和判断函数在闭区间上一致连续的一致连续性定理,但是当我们应用时会发现这些内容不够，使用定义证明函数在区间上一致连续非常复杂，一致连续性定理的使用条件又比较苛刻，因此需要探索判别函数一致连续的其它方法. 本文从一致连续性出发，结合连续、极限、导数等概念及性质给出了另外几种判定函数在有限区间、无限区间以及任意区间上一致连续的判定定理及证明，并总结了函数一致连续的一些性质，且列举了几个例子来说明函数一致连续性的应用.

2  一致连续性的概念源'自:吹冰`!论~文'网www.chuibin.com

定义2.1[1] 设 为定义在区间 上的函数.若对 ,使得对 只要 ,就有 ,则称函数 在区间 上一致连续.

例1  证明：函数 在 上一致连续. 

证明  由于 ，取 = ，则对任何 ，只要 ，,就有 ，故函数 在 上一致连续.

定义2.1＇(非一致连续定义) 设函数 在区间  上有定义,若 

 时有  ,

则称 在 上非一致连续.

例2   证明：函数 在区间 上非一致连续.

证明  ，取 ，虽然有 

但 ，故函数 在区间 上非一致连续.

3  一致连续性的判定

3.1  有限区间上的连续函数的一致连续性

定理3.1[1]（一致连续性定理）若 在 上连续,则 在 上一致连续.

证明　（应用有限覆盖定理）由 在闭区间 上的连续性，任给 ，对每一点 ，都存在 ，使得当 时有  .   

考虑开区间集合 ，显然 是 的一个开覆盖. 由有限覆盖定理，存在 的一个有限子集 覆盖了 . 记  .对任何 , ， ， 必属于 中某开区间，设 ，即 . 此时有  ，故有  和  .由此得 . 所以 在 上一致连续.

定理3.2 函数 在有限开区间 内一致连续的充要条件是 在 内连续且极限 和 存在.

证明［充分性］若 在 连续，且 和 都存在，则令