摘 要：本文介绍了拉普拉斯方程在柱坐标系下可得到贝塞尔方程和虚宗量贝塞尔方程，其理论在波动问题和有势场的问题中有重要地位。本文归纳了拉普拉斯方程在柱坐标下的解的情况，并介绍贝塞尔方程在物理和工程中的运用。62779

毕业论文关键词：拉普拉斯方程 ；贝塞尔方程 ；分离变量法

Abstract： This paper introduced that the Bessel Equation and the Bessel Equation of Imaginary Argument could be obtained by the Laplace Equation in cylindrical coordinates. Its thesis is of great significance when solving problems of wave motion and problems with potential field. This paper summarized the solution of the Laplace Equation in cylindrical coordinates and presented the use of it in Physics and engineering.

Keywords：Laplace Equation; Bessel Equation; Separation of Variables

目   录

1  引言  3

2  拉普拉斯方程在柱坐标系中的表达式  3

3  傅里叶——贝塞尔级数  6

4  虚宗量贝塞尔方程  ·7

4.1  ν阶虚宗量贝塞尔方程  7

4.2  整数m阶虚宗量贝塞尔方程  8

5  拉普拉斯方程在柱坐标下的解的研究  9

5.1  轴对称且柱侧有第二类齐次边界条件的问题  9

5.2  轴对称且柱侧有第一、三类齐次边界条件的问题  10

5.3  柱侧有齐次边界条件的一般问题11

5.4  柱外问题12

5.5  虚宗量贝塞尔方程的应用·15

结论  ·17

参考文献  ·18

致谢  ·19

1 引言

在《数学物理方法》（梁昆淼.编）[1]一书中，我们已经学习了拉普拉斯方程在柱坐标系中，利用分离变量法能得到的两个重要方程是贝塞尔方程和虚宗量贝塞尔程。在 时得到贝塞尔方程；在 时得到虚宗量贝塞尔方程。拉普拉斯方程在柱坐标下的解，主要有四种情况，（1）轴对称且柱侧有第二类齐次边界条件；（2）轴对称侧有第一、三类齐次边界条件；（3）柱侧有齐次边界条件的一般情况；（4）柱外情况。下面我们来详细处理这一问题。源:自/吹冰^-论,文'网·www.chuibin.com/

2 拉普拉斯方程在柱坐标系中的表达式[1]

已知拉普拉斯方程 ，

柱坐标系拉普拉斯算符 的在圆柱坐标系下的表达式：

 从而得到拉普拉斯方程在柱坐标系中的表达式：

        (2.1)

试以分离变数形式的， 

代入（2.1），得： 

用 遍乘各项并适当移项，即得： 

左边是 和z的函数，与 无关；右边是 的函数，跟 和z无关。两边相等显然是不可能的，除非两边实际上是同一常数，把这一常数记做 ，

 这就分解成两个方程，

常微分方程（2.3）和没有写出来的自然的周期条件构成本征值问题。本征值和本征函数是：

  （m=0,1,2,3,）     （2.4）文献综述

                （2.5）

至于方程（2.4），以（2.5）代入，用 遍乘各项，并适当移项，即得

 左边是关于 的函数，跟z无关；右边是关于z的函数，跟 无关。两边相等明显是不可能存在的，只有两边实际上是相同的一个常数，我们把这个常数记作 ，

 这就分解为两个常微分方程：

下面会看到由于圆柱区域上下底面齐次边界条件或圆柱侧面齐次边界条件，分别跟（2.6）和（2.7）构成本征值问题，只需考虑常数 为实数。下面就 ， 和 三种情况来讨论。