摘 要：级数是数学分析中的一个重要的概念，无穷级数在近似计算中有着广泛的应用.本文主要介绍运用函数的泰勒展开式，运用无穷级数表示 的方法对 进行近似计算，并给出相应的证明，重点介绍运用størmer定理和størmer分解对 的无穷级数表达式做更加一般性的讨论.64730

毕业论文关键词：无穷级数,泰勒展开式,圆周率,近似计算,证明

Abstract: Infinite series is a very important concept in mathematical analysis and is widely used in Approximate calculation.This paper focuses on the Approximate calculation of   by using the Taylor series of some functions with proof, and makes a general discussion about the series expression of   by using størmer theorem and størmer decomposition.

Keyword: Infinite series, Taylor series, Pi, Approximate calculation, Demonstrate. 

目 录

1  引言 3

2  运用无穷级数计算 的若干方法 3

2.1  格雷戈里-莱布尼茨级数 3

2.2  欧拉为计算 所做的级数 4

2.3  巴塞尔问题与欧拉级数 5

2.3.1  级数收敛的证明 5

2.3.2  欧拉对这个问题的研究 6

2.4  梅钦公式 7

2.5  størmer关于 的研究 8

2.5.1  størmer定理 8

2.5.2  størmer分解 9

2.5.2.1  高斯整数、高斯素数及素因数分解 9

2.5.2.2  størmer分解 10

2.5.3  1+i的n±i分解 12

2.5.4  størmer定理的小结 13

结论  14

参考文献 16致谢 17

1  引言

尽管人们对于圆周率的研究起源非常古老，但在很长一段时间内，人们对于圆周率的认识还处于经验获得时期.人们最早是在日常生产生活中发现了圆的周长与其直径的关系，早在古巴比伦和古埃及时期就有 =256/81以及 =25/8的估论，而关于 较为精确的计算则要从几何推算才开始，此时人们主要通过割圆，即在圆内接正多边形或圆外切正多边形来进行推算.

时间来到文艺复兴，数学领域诸多新发现刺激着人们对圆周率更进一步精确计算的渴求，数学家们开始突破几何的束缚，运用分析的手段.这一时间内泰勒级数的发现为运用无穷级数进行近似计算奠定了基础，通过泰勒展开式将 写为某一无穷级数或数个无穷级数的和差，从而为人们计算圆周率提供了更加高效的方法.此外这一时期人们所做的工作也成为日后进入计算机时代，运用计算机计算圆周率的算法基础.文献综述

本文将介绍进入解析计算时代以来的运用无穷级数求圆周率近似值的若干方法，重点介绍运用størmer定理将 用两项 表示的方法.

2 运用无穷级数计算圆周率 的若干方法

2.1 格雷戈里-莱布尼茨级数

　　最早发现的与 有关的级数是格雷戈里-莱布尼茨级数

　　格雷戈里-莱布尼茨级数： 

　　亦可写为： 

　　证明：

　　对 中 进行微分，可得　　 

　　设 ，则有　　  (1)

　　考虑 的无穷等比数列，其前n项和为：　　 

　　则对   的无穷等比数列，其前n项和为：　　  (2)

　　由(1),(2)式可得：　　 

　　对等式两边同时对x积分，得：

　　  (3)　　当 时，由 可得 ，带入(3)式可得： 

　　虽然 不满足 的要求，但根据阿贝尔定理 ，对于幂级数 ，讨论其收敛半径　　 

　　故原幂级数的收敛半径 ， 时仍满足条件，得证.论文网

　　莱布尼茨也正是由此式感受到自然的深不可测，开始了作为数学家的研究之路.