摘 要：探讨如何在常微分方程的学习过程中利用变分法解决相关问题以及变分法使用的关键，从而提高学生对变分法概念的理解，更好地运用变分法解决问题。特别地，我们研究了变分法在欧拉方程中的应用。64736

毕业论文关键词：常微分方程，变分法 ，欧拉方程  

Abstract：Discusses how to use calculus of variations in ordinary differential equations and use the key of calculus of variations, so as to improve students' understanding of the concepts of calculus of variations, better use calculus of variations to solve the problem. Particularly , we study Euler equation by using calculus of variations. 

Keywords：Ordinary differential equation，calculus of variations，Euler equation

目   录

1 前言 4

2 古典变分法问题举例 4

3 变分法的基本概念 7

4 变分法在欧拉方程中的应用 9

结论 13

参考文献 14

致谢 15

1 前言

变分法也称变分方法，它是属于数学分析的一个分支，并且它是研究依赖于一些函数的积分型泛函极值的一门科学。总的来说，求泛函极值的方法被人们称作变分法，那么求泛函极值的问题则被人们称作变分问题或者变分原理。数学家克莱罗于1733年发表了关于变分法的第一篇论文《论极大极小的某些问题》，数学家欧拉于1744年发表的《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》标志的变分法的正式诞生。在拉格朗日给欧拉的一封信中变分法这一词被首次提出，拉格朗日当时称它为变分方法，而后欧拉在一篇论文中提出了变分法这一词。变分法这一门科学的命名就是这样来的。变分法是泛函分析的一个重要组成部分，但是泛函分析是在变分之后才有的。更多地研究情况，参见文献和书籍[1-8]。

本文主要通过举出几个古典变分问题的例子，来探讨变分法的基本概念以及变分法在欧拉方程中的应用。

2  古典变分法问题举例

泛函的极值问题是变分法的基本问题，为了阐述变分法的基本概念，先列举几个古典变分问题的实例。

例1 .最速降线问题。这个问题也被数学家称作捷线问题，是历史上最早出现的变分法问题之一，并且人们认为它是变分法的发展起源。伽利略在1630年首先提出了这个问题，并于1638年系统地研究了它，但是当时他对自己的结果持怀疑态度，认为这条曲线是一段圆弧。对变分法的实质研究是约翰·伯努利写给他哥哥雅克布·伯努利的一封信中证求该问题的解开始的。问题的提法是：“设A和B是铅直平面上不在同一铅直线上的两个点，在所有连接A到B的平面曲线中，求出一条曲线，论文网使仅受到重力的作用且初速度为零的质点从A到B沿着这条曲线运动时所需的时间最短。”

解   质点的运动时间不仅取决于路径的长短，而且与速度是有关系的。连接A和B两点的所有曲线中以直线段AB最短，但它未必是质点运动时间最短的路径。现在来建立这个问题的数学模型。如下图1，取A点为平面直角坐标系的原点，x轴置于水平位置，y轴正向朝下。显然，最降速线在这个平面内，于是A点的坐标为 ，设点B的坐标为 。取连接A，B两点的曲线方程为

它在区间 的两个端点满足的条件为