摘要：矩阵对角化是矩阵理论中的一个重要问题,本文对矩阵可对角化的条件进行归纳,并加以证明.

毕业论文关键词：矩阵，对角化，特征值，特征向量66007

Abstract：Diagonalization of matrix is an important issue in matrix theory. I conclude the diagonalization of matrix of conditions and prove it in this paper.

Key words：matrix, diagonalization, eigenvalue, eigenvector

目  录

 1  引言4

 2  矩阵对角化的基本概念4

 3  矩阵对角化的充要条件5

 4  特殊矩阵的对角化条件9

 4.1  实对称矩阵的对角化9

 4.2  循回阵的对角化 11

 4.3  对合矩阵的对角化 14

 结论17

 参考文献18

1  引言

    矩阵是高等代数中的重要理论,是许多数学分支研究的重要工具.而对角矩阵是一种特殊的矩阵,其格式最简单,研究起来也十分的便利.研究矩阵的对角化及其理论意义也很明显,矩阵相似是一种等价关系,对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出一种简单的等价形式,这对理论分析是十分方便的.相似的矩阵拥有很多相同的性质,比如特征多项式、特征根、行列式如果只关心这类性质,那么相似的矩阵可以看作是没有区别的,这时研究一个一般的可对角矩阵,只要研究它的标准形式——一个对角形矩阵就可以了,而对角矩阵是最简单的一类矩阵,研究起来非常方便.

线性代数中矩阵是否可以对角化,是矩阵的一非常重要的性质.矩阵对角化也是《高等代数》和《线性代数》中矩阵理论这一部分的主要内容.人们对此研究出许多有用的理论,比如以下这些条件： 阶矩阵可对角化的充要条件是对应方阵 的各特征值的特征向量,其线性无关的最大个数与特征值的重数相等; 数域 上 阶方阵可对角化的充要条件是方阵 存在 个线性无关的特征向量;数域 上 阶矩阵 可对角化的充要条件是 的最小多项式无重根等,除了这些充要条件还有一些充分条件、必要条件,然而这些条件都比较抽象,不便于记忆.论文网

    因此本课题通过阅读参考文献、查阅资料，总结出矩阵可对角化的若干条件,给予相应的证明过程,并以例题加以验证.

2  矩阵可对角化的基本概念

    定义   设 级矩阵 ,如果存在一数 和一个非零向量 ,满足

 .

那么 称为矩阵 的特征值,且 是矩阵 的属于特征值 的一个特征向量.

定义   设 是数域 上一 级矩阵, 是一个数字,矩阵

 的行列式

称为 的特征多项式.

    为了全文的完整叙述，我们先回顾一下求方阵 的特征值、特征向量的步骤：

第一步：令方阵 的特征多项式 ,得出 的 特征值.

设 为方阵 的互异特征值,重数分别为 ,且 .

第二步：解齐次线性方程组 ,其基础解系

就是 的特征值 对应的特征向量.

     定义   在数域 上,若 阶矩阵 存在一个可逆矩阵 使 为对角矩阵,则称矩阵 在数域 上可对角化.

3  矩阵可对角化的充要条件

我们首先回顾一下学过的矩阵对角化知识.

定理   数域 上 阶方阵 可对角化的充要条件是方阵 存在 个线性无关的特征向量.

    引理1   阶矩阵可对角化的充要条件是对应方阵 的各特征值的特征向量,其线性无关的最大个数与特征值的重数相等.