18 15 10 2 12 14 3 17 20 14

11 2 13 15 5 20 2 22 1 0

表   关于模 的最小非负剩余

因此可以得知，在斐波那契数列之中， 关于模 的最小非负剩余的周期是 ,并且

   .

即 

引理5  设 为正整数， .

证明：由引理 及斐波那契数的定义知， .

引理6[4]  设 为正整数，则有

（1） ;

（2） ;

（3） .

引理7[6]  设 ， 为正整数，则有

（1） ;

（2） ;

（3） .

引理8  设 为正整数，则 .

证明：由引理 以及引理 ， 

     .

3 主要结果

定理1  设 为正整数，则 与 的标准分解式中素因数 的指数相同.

证明  我们对 用数学归纳法.文献综述

（1)当 时，不妨设 的标准分解式中素因数 的指数为 ,即 .

由引理 , .下证 .

因为 ，从而 ，进而 .

下证 不能整除 .

由引理 ( )， .令 ，则 .进而由 且 ，

 .

因为 ，所以只要证 不能整除 .又 ，从而 ，

由引理 知， ，从而 不能整除 ，即 不能整除 ，进而 不能整除 .所以 .

（2）假设命题当 时成立，即 与 的标准分解式中素因数 的指数相同.则 且 ， .

（3）下证命题对于 成立，

该证明等价于证明 .因 ，所以 ，进而 .

下证 不能整除 .

因为 ，令 ，则 .进而由 且 得

 .

又由引理 知

 ，从而 .

因为 不能整除 ，从而 不能整除 ，进而 不能整

除 ，所以 .

综上，定理得证.

定理2  设 为不含因数 和 的正整数，则 的标准分解式中素因数 的指数为 .

证明  由引理 ， .下证 不能整除 .

设 ， ，则

 .

由 语言编程结果知 ，从而 ，又 不能整除 且 不能整除 ，从而 不能整除 ，即 不能整除 ，从而 ，即 的标准分解式中素因数 的指数为 .

定理3  设 为不含因数 和 的正整数，则 的标准分解式中素因数 的指数为 .

证明  由引理 ， ，又由定理 知 ，从而 .来~自^吹冰论+文.网www.chuibin.com/

下证 不能整除 .

设 ，则

  .

由编程结果知 ，从而  ，又 不能整除 ， 不能整除  ，即 不能整除 ，从而 ，即 的标准分解式中素因数 的指数为 .

定理4  设 为正整数且 ，其中 为非负整数， 为不含因数 和 的正整数，则 的标准分解式中素因数 的指数为 .

证明  对 作数学归纳法.

（1） 时， ，由定理 知命题成立.