摘要：积分中值定理是数学分析学习过程中最重要的内容之一，本论文主要讨论的内容是积分中值定理与推广，并给出积分中值定理一些具体应用实例，把积分中值定理和它的一些推广与实际应用相结合，来充分说明积分中值定理在数学分析中的重要性.66748

毕业论文关键词：积分中值定理；推论；证明；应用

Abstract：Integral mean value theorem is the mathematical analysis is one of the most important content of the learning process, this paper mainly discuss the content of the integral mean value theorem and promotion, and integral mean value theorem is given some concrete application examples, the integral mean value theorem and some of its popularization combined with practical application, to fully show the importance of the integral mean value theorem in the mathematical analysis.

Keywords：Integral mean value theorem, Inference, Certificate, application

目  录

1　引言 4

2  积分中值定理 4

2.1  定积分中值定理及推广 4

2.2  积分第一中值定理及推广 6

2.3  积分第二中值定理及推广 7

3  积分中值定理的应用 9

3.1  积分中值定理在求极限中的应用 9

3.2  判断某点的存在性 10

3.3  判别级数的敛散性 11

3.4  确定函数零点分布 12

3.5  证明不等式 12

参考文献 13

1　引言

积分中值定理揭示了一种积分方法,就是将积分化为函数值，或者是将复杂函数的积分化为简单函数的积分方法.其中，微积分的创立极大地推动了数学的发展.积分中值定理是作为微积分中的一个重要性质出现在数学分析课程中的，是数学分析的基本定理和重要手段，并且对于后续课程的学习也起着较大作用.

通常情况下，积分中值定理包含第一积分中值定理、第二积分中值定理.并且这两个定理在各个方面的应用都较为广泛，比如求极限、判断某点的性质、判别级数的敛散性等.虽然有时第一积分中值定理在处理一些积分极限问题上显得很繁琐，但是我们仍然可以把它当作一个基础定理，解决一些现实问题.

2　积分中值定理论文网

2.1  定积分中值定理及推广

2.1.1  定积分中值定理

引理：假设 和 分别为函数 在区间 上的最大值和最小值，则有

      ， 

成立.

证明　因为 和 分别为函数 在区间 上的最大值和最小值，即 ，我们对不等式积分得

由积分性质知

                                 ①

成立，命题得证.

定理1（定积分中值定理）：如果函数 在闭区间 上连续，则在区间 上至少存在一个点 ，使下式

 = ，  （ ）

成立.

证明　由于 ，将①同时除以 可得

此式表明 介于函数 的最大值M和最小值m之间.

由闭区间上连续函数的介值定理，在闭区间 上至少存在一点 ，使得函数 在点 处的值与这个数相等，即应该有