摘要二重极限是多元微积分理论的基本研究方法和重要内容，相比于一元函数极限，二重极限在本质上相同，但形式上要复杂的多；同时三元及三元以上的函数极限与二元函数基本类似，因此研究它的求法和相关理对进一步学习多元函数微积分学有着重要的意义。通过对大量的相关中外文文献的查阅和研究，从二重极限的定义和性质入手，讨论了二重极限的存在性理论和证明其不存在的方法，探讨了二重极限求解问题的几种常用的解法，总结并分析了二重极限与二元函数累次极限的关系；最后就二重极限的重要性，介绍了它与其他多种极限、可微性以及可积性的关系。68013

毕业论文关键词  二重极限；累次极限；一致收敛；变量代换

毕业设计说明书（论文）外文摘要

Title    Summary of the related content of double limit                     

Abstract

The double limit is the basic method and important content of multivariate calculus theory, compared to the limit of function of one variable, double limit in essentially the same, but the form is more complex. At the same time, the limit of function of three variables and more is similar as double limit, therefore to study them and to further study the multi-variate calculus has important significance. In this paper, through consulting and research on a large number of Chinese and foreign literature, starting from the definition and properties of double limit, discusses the theory of double limit method and prove its absence, discusses several commonly used method of double limit problem, summarized and analyzed the relationship between double limit and function of two variables of double limit, introduced the relationship between it and a variety of other limit, differentiability and integrability.

Keywords  double limit   repeated limit   uniform convergence   variable substitution

目   次

1  引言 1

2  二重极限的定义和性质 2

3  二重极限的存在性理论 3

3.1  二重极限存在性的判断理论 3

3.2  证明二重极限不存在的方法 7

4  二重极限的求法 10

4.1  定义法10

4.2  夹逼准则 11

4.3  一元函数极限求法推广 12

4.3.1 利用无穷小性质 12

4.3.2 利用函数连续性 12

4.3.3 运用函数极限的四则运算法则 13

4.3.4 对一元函数两个重要极限的推广 13

4.4  简化运算的方法 14

4.4.1 分子分母有理化 14

4.4.2 取对数法 14

4.5  变量代换 15

4.5.1 通过变量代换化为一元函数求解  15

4.5.2 极坐标变换  17

5  二重极限与累次极限的关系 18

6  二重极限的重要性 20

6.1  二重极限与方向极限、弱二重极限的关系 20

6.2  二重极限与偏导数、可微性和可积性的关系 21

结论 24

致谢 25

参考文献 26

1 引言

极限概念是微积分和数学分析的其他分支最基本的概念之一,用以描述变量在一定变化过程中的状态。几乎所有微积分学的基本概念连续、导数、微分以及积分等都是在极限概念的基础上定义的。极限理论是微积分学的基础，它从方法论上突出体现了微积分学不同于初等数学的特点。极限理论经过千百年的发展，已经被推广到了多元函数极限，其中二重极限是多元函数极限理论中最基本的概念，同时也是多元微积分学的一个基本研究方法，是进一步学习多元函数连续、微分以及积分等概念和方法所必须了解和研究的。和一元函数极限相比，二重极限虽然在性质上大体和后者保持一致，但在过程和形式比后者更加复杂，因此深刻理解其概念是学好二重极限的关键。对此，国内编著的大多数相关的教科书都提及较少，因而造成了它的难学难解，同时也会对微积分的其他内容的学习产生影响，所以就有必要二重极限的相关理论和方法进行研究。论文网