则由上式知

ag(x)dx  0 ，

a f (x)g(x)dx  0 ，

从而对任何a,b，（2）式都成立，若论文网

ag(x)dx 0 ，则有

f (x)g(x)dx由，连续函数的介值性，必至少有一点a,b，使得

a f (x)g(x)dx

f ()  b .

ag(x)dx

这就证明了（2）式成立.

（2）推广的积分第一中值定理的应用

例 1（求极限） 设 f 在0,1上连续，求 lim 1 f (nx )dx .

解 对于任意的正整数 n 2 ，根据积分第一中值定理，存在 n 0, n 及

因为 f 在0,1上是有界的，而有界量与无穷小量的乘积依然为无穷小量，所以

lim f (n ) 1 0.

n n n

又因为 1 1，故有 1 

根据 f 在 x 1 处的连续性，有

lim f (n ) (11 ) 

f (x)dx  0 1 n0,

0 1 2 n 1

由积分中值定理1.21,2，存在0,1，使得

例 3 5（估计积分值） 估计 

解 令 f (x) ex , g(x) 

显然 f (x) 和 g(x) 满足推广的积分第一中值定理的条件，于是

2.3 定理 2.11,2（积分第二中值定理）来!自-优.尔,论:文+网www.chuibin.com

设函数 f 在a,b上可积.

（i）若函数 g 在a,b上减，且 g(x) 0 ，则存在a,b，使得

a f (x)g(x)dx  g(a)a

f (x)dx.

（3）

（ii）若函数 g 在a,b上增，且 g(x) 0 ，则存在a,b，使得

a f (x)g(x)dx  g(b) f (x)dx.

证：下面只证（i），类似地可证（ii）.设

F (x)  a

f (t)dt, x a,b

由于 f 在a,b上可积，因此 F 在 a,b上连续，从而存在最大值 M 和最小值 m .

若 g(a) 0 ，由假设 g(x) 0, x a,b，此时对任何a,b，（3）式恒成立，下 面设