积分中值定理告诉我们，在积分区间 内存在一点 ，使得

成立．就是说，底为 而高为 的矩形面积恰等于所求曲面梯形的面积．

我们将 称为区间 上的平均高度，平均高度是由两端点“高度” 与 的算术平均值得到，这样导出的求积公式就是

这就是梯形公式．

如果改用区间中点 的“高度” 近似地取代平均高度 ，这样导出的求积公式就是

其中 称为求积节点； 称为求积系数，或称伴随节点 的权，这就是机械求积公式 ．

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3．1牛顿-柯特斯公式

 设将积分区间 划分为 等分，步长 ，选取等距节点 构造出的插值型求积公式

称为牛顿-柯特斯公式，式中 称为柯特斯系数，且

 ．

3．1．1梯形公式和辛普森公式

对于上式的牛顿-柯特斯公式，容易得到相关系数

当 时，= 

就是梯形公式．

当 时，此时求积公式就是辛普森公式．