（3）

的矩阵称为关于元素列（ ）的 阶 循环矩阵 ，简记为 。 

特别的， 时，即为循环矩阵（1）； 时，即为反循环矩阵（2）。 

2。2　 基本循环矩阵

1）  特别的，形如

           =  ，     

           ，     (单位矩阵)

的矩阵称为基本循环矩阵，由于它的任意行都可以通过对矩阵的第一行进行置换得到，所以 又称为循环置换矩阵或移位矩阵 。 

2）形如

            =                                                 （4）

的矩阵称为基本反循环矩阵 。 

    3）形如

            =                                                 （5）

的矩阵称为基本 –循环矩阵 。 

3　循环矩阵的性质

显然， （ 阶单位矩阵）都是 阶循环矩阵，且任意一个 阶循环

矩阵 都可以唯一地表示为基本循环矩阵 的 次多项式，

设 ，则 。 

因此，我们通过研究基本循环矩阵 的性质来研究循环矩阵（1），而循环矩阵（2）、（3）的性质也可类似得到。 

性质1。 同阶循环矩阵 ， 的和矩阵 也为循环矩阵。 文献综述

证明：设 ， ，

则 ，

显然 也为循环矩阵。 

性质2。 同阶循环矩阵 的乘积 也为循环矩阵，且有 。 

证明： ，那么对任意非负整数 ，有 。 

设且则 。 

因为多项式乘法可交换，故 ，

这里 是一个次数不高于 的多项式，故 也为循环矩阵，且有 。 

性质3。 循环矩阵的数乘矩阵仍为循环矩阵。 

证明：设 阶循环矩阵

 ， ，

则

  ，

即 也为循环矩阵。 

性质4。 可逆的循环矩阵的逆矩阵仍为循环矩阵。 

证明：设 为可逆的循环矩阵

 ，

由性质2，我们只需要找到 阶循环矩阵

 （ 为待定系数， ），

使得 即可。

       ，

当且仅当下列方程组成立时， 。 

  ，                                                     

上述方程组是以 为未知数，以 （ 表示 的转置矩阵）为系数矩阵的线性方程组。 

依据题设 可逆，可得 ，故方程组（7）有且仅有惟一解 ，即循环矩阵 存在。 从而 是 的逆矩阵，且 也为循环矩阵。 

推论：设 为 阶可逆循环矩阵，则 的伴随矩阵 也是循环矩阵。 来*自-优=尔,论:文+网www.chuibin.com

证明：由性质4可知，可逆循环矩阵 的逆矩阵因为循环矩阵，设

 。

又 ，因此 

 ，

由性质3知 也是循环矩阵。 

性质5。 任何一个循环矩阵 在复数域 上都与一个对角矩阵相似。 

证明：设循环矩阵