例1  已知 级矩阵 满足 ,证明 可逆并求出 。

证明   可变形为 ,即 ,又即

 ,所以存在矩阵 ,使得 ，根据条件即

  。

2．2  由伴随矩阵求逆矩阵

定义2 设 是矩阵

 ,

中元素 的代数余子式，矩阵

 ,

称为 的伴随矩阵。

定理2  级矩阵 可逆的充分必要条件是  ，且 。

 注2 （1） 中元素 不是矩阵 中 的余子式，计算时勿遗漏 ；

（2）元素 位于 中第 行第 列，而不是第 行第 列；

（3）此方法对任何可逆矩阵都适用，但计算量大只用于较低阶的矩阵的求逆。

2．3  由初等变换求逆矩阵

求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，特别是在方阵阶数较高时，常用初等变换法。

如果 可逆，作一个 的矩阵 ，然后对此矩阵施以初等行变换，使矩阵 化为单位矩阵 ，则 即化为 ，即 。

如果 可逆，作一个 的矩阵 ，然后对此矩阵施以初等列变换，使矩阵 化为单位矩阵 ，则 即化为 ，即 。

进一步地，可以构造矩阵 ，然后对 经过有限次的行、列初等变换后，使矩阵 ，即 。

2．４  由Hamilton-Cayley定理求逆矩阵

定理3   设 是数域 上一个 级矩阵， 是 的特征多项式，则  。

若 可逆，则由Hamilton-Cayley定理得 ， ，所以 ，所以  。利用Hamilton-Cayley定理可以求逆矩阵。

例2  求可逆矩阵 的逆矩阵。

解 的特征多项式 ，所以

 。

2．５  运用解方程组法求逆矩阵

　　在求一个矩阵的逆矩阵时，先设出逆矩阵的待求元素，根据等式两端对应元素相等，可得出相应的只含待求元素的 个线性方程组，通过求解这些方程组便可求得逆矩阵。

若 阶矩阵 可逆，则 ，于是 的第 列是线性方程组 的解， 是第 个分量为 的单位向量。因此我们可以去解线性方程组 ，其中 是行向量，即 。

例3  求可逆矩阵 的逆矩阵。来*自-优=尔,论:文+网www.chuibin.com

解 由 得

解以 为未知量的方程组得 

所以2．6  分解矩阵求矩阵

　　将已知矩阵 分解成两个矩阵之和，然后再求它的逆。

定理4 　设 为 阶可逆矩阵，且 存在， 是 可逆阵， ，又设 可逆，则 。

3  几类特殊矩阵的逆矩阵

3．1   分块矩阵的逆矩阵

定义3  有时候，我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样，特别在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理。这就是所谓矩阵的分块。

定理5  设 可逆,且其子块 阶矩阵 可逆, 与 分别为 和 矩阵, 为 阶矩阵。则