性质3[1] 如果行列式中两行成比例,那么行列式为零,即 

（如果行列式中一行为零,那么行列式为零）

性质4[1] 把一行的倍数加到另一行,行列式不变,即

性质5[1] 对换行列式中两行的位置,行列式反号,即

3 行列式在高等数学中的应用

3。1范德蒙德（ ）行列式在行列式计算中的应用

定义2[1] 行列式 称为 级范德蒙德行列式。

 阶范德蒙行列式是线性代数中著名的行列式,它构造独特、形式优美,有广泛的应用,我们可以根据范德蒙行列式的这种结构特点,利用行列式的性质（如提公因式,调换行的次序,将行列式拆成两个行列式等）将行列式转化为范德蒙德行列式,或者改变行列式中的元素,或者用加边法将所给行列式化为范德蒙行列式,然后利用其结果计算。

例1计算行列式 文献综述

解 由性质1,从 的第 行提取 得到

在所得行列式中,从第一列起,依次将前一列加到后一列上,得到一个范德蒙德行列式,于是

例2计算行列式 。

解 将题中所给的行列式记为 构造这样的范德蒙德行列式

令 

则

由定理1,将行列式 按最后一列展开可得 前系数为 即

例3计算行列式 

解 根据行列式的性质2,将 按最后一列分和得

其中第一个行列式是范德蒙德行列式,第二个行列式最后一行提出 ,可得

因此

3。2雅克比行列式在微积分中的应用

定义3[2] 对于 个 元函数组 对每个变量 都存在偏导数 , 则行列式

称为 元函数组 在点 的雅可比行列式,也称为函数行列式。

我们通常在数学分析中进行二(三)重积分的计算时一般运用一些技巧,首先针对积分区域的边界的各类特殊情况,然后选取适当的坐标变换,运用相应的雅可比行列式,最后将原积分转化为对新坐标进行累次积分的简易计算。我们首先看一看它在二重积分和三重积分的坐标变换中的应用。

(1)二阶雅可比行列式的应用

定理2［2］ 设函数组变换为 存在一阶连续偏导数,则二阶雅可比行列式为

   即 且有  其中 来*自-优=尔,论:文+网www.chuibin.com

(2)三阶雅可比行列式的应用

定理3［2］ 设函数组变换为  存在偏导数,则三阶阶雅可比行列式为 ,即 且有

 其中 

例4求二重积分 。其中 是由 轴、 轴和直线 所围成的闭区域。

解 由于积分区域 的边界出现“ ”,被积函数出现“ ”和“ ”,故选取坐标变换为

 则有 则 平面上的闭区域 变成 平面上的闭区域 （由 围成）,则 

故例5求三重积分 ,其中 是由椭球面 所围成的闭体．

解 由于积分区体 和被积函数均含有“ ”故选取坐标变换

则 且有故3。3行列式在解方程中的应用

定义3[1] 含有 个未知量 的 元线性方程组

当其右端 不全为零时,线性方程组 称为非齐次线性方程组;当其右端的 全为零时,线性方程组 称为齐次线性方程组,其中 的 前的 

 构成的行列式 称为该方程组的系数矩阵的行列式。

定理4［１］ 克拉默法则（ ） 当 时,线性方程组 有解且有唯一解   ,其中 是将系数行列式中第 列元素对应的换成 ,而其余元素保持不变所得的行列式。