摘 要： e 是数学常数中的一个重要常数,它的应用非常广泛。本文主要介绍常数 e 的由来、 性质和相关应用,从而加深对常数 e 的理解。72631

关 键 词：常数 e,欧拉,可导,可积,应用

Abstract: E is a very important part in mathematical constant,it has a very wide range of applications。This paper mainly introduces the origin of the constant,properties and relevant applications,so as to deepen the understanding of constant e。

Keywords：constant e, euler,detivable, integrable, application

目 录

1 引言 4

2 欧拉公式 4

3 常数 e 的由来 6

4 常数 e 的性质 8

4。1 常数 e 的数学定义 8

4。2 对数函数 lnx 的性质 9

4。3 指数函数 ex 的性质 11

5 e 的应用 12

结论 16

参考文献 17

1 引言

数学中常见的重要常数有两个,一个是圆周率,另一个是常数 e 。对于圆周率的研 究可以追溯至遥远的古代,然而常数 e 的发现也就只有 400 年左右的历史。是从直观的几 何图形中得出,较 e 而言容易被人们接受,可是我们想在生活实例中找到 e 的具体形象事例 是很难实现的,所以一般认为常数 e 产生于指数函数或对数函数的求导过程。 1

2 欧拉公式

著名数学家拉普拉斯说:”阅读欧拉,读懂欧拉,他是我们所有人的老师”。 2

e 是自然对数函数的底数,以瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler 公元 1707-1783 年)的 名字命名,被称为欧拉数(Euler number),也被称作为纳皮尔常数,以此纪念苏格兰数学家 约翰·纳皮尔引进了对数。

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eiycosy isiny ,

当 y 时,有

ei1 0 ,

是数学中最美妙的式子,式中把数学中的 e ,, i , 0,1,完美融合到同一个式子中,体现了不可 思议的数学内在美,是公认的最完美的数学公式,被誉为”五朵金花”。

那么这个公式是怎么的来的呢？ 证明如下:

由幂级数展开式得:

得证。

当 y y 时,有

由上两式相加、相减可得到两个美妙的公式:

这两个公式也叫欧拉公式。

3 常数 e 的由来

e ,一个天设地造的数----永无止境又不循环,像宇宙一样没有尽头。从 17 世纪”诞生” 以来,像一位正值当打之年的科学泰斗,统御者科学的方方面面,它一直都是个谜,令人感 到神秘玄奥、迫使人们永无止境地探索。

十七世纪初人们就已经开始使用常数 e ,当时还没有把符号固定下来使用。自 1727 年 欧拉就已经开始使用了常数 e ,1736 年欧拉第一次在出版物《力学》中写到了 e 。虽然后来 也用人 c 表示,但 e 较为常用,逐步确定了下来。

e 作为自然对数的底数的缘由多数人所认可的说法有三:

一。 e 是 a,b,c,d 四个常用字母后的第一个未被经常使用的字母,于是就选择了 e 作为 自然对数的底数;