性质8：设 阶实对称矩阵为 ，则一定存在正交矩阵 ,使 ，其中 是以 的 个特征值为对角元素的对角矩阵。[5]

性质9：设 阶对称矩阵为 ，则对称矩阵和反对称矩阵的和可用对称矩阵 表示。[5]

性质10：设对称矩阵为 ，则当 是同阶矩阵时， 是对称矩阵，因此 也是对称矩阵。[1]

证明： ,所以 是对称矩阵。

由性质1可知, 也是对称矩阵。

性质11：设 阶方阵为 ,假如满足 ,则 为对称矩阵。

证明: , 是对称矩阵。

性质12：设两个 阶对称矩阵分别是 ,则 也是对称矩阵。[2]

证明:先证 时成立。因为 都是对称矩阵,相当于 

且 ,由性质2知,当 时结论都成立。

性质13：设两个 阶矩阵分别是 ,且 为对称矩阵, ,则 是对称矩阵。[4]

证明: 且 ,

又 为 阶对称矩阵,由性质知: , 。

性质14：(l)设两个 阶对称矩阵分别是 ,则 (或 )是对称矩阵的充分必要条件 ,从而 时,  是对称矩阵。[1]

(2)当 是对称矩阵, 和 是同阶的任意矩阵时, 的充分必要条件是 

证明: 充分性 ， 。来*自-优=尔,论:文+网www.chuibin.com

      必要性 , 。

      由性质2知, 时,  是对称矩阵。证毕

      必要性对 两边同时转置: 。 对称 ,所以    。充分性类似可证。

二、实次对称矩阵的主要性质

2。1、实对称矩阵的相关定义

定义1设 为 阶矩阵，将它绕次对角线翻转180º而得到的矩阵，记作 ，即 称为矩阵 的次转置矩阵。[12]

定义2矩阵 称为次单位矩阵。所以 

 。

定义3设 为 阶方阵，如果 ，那么称 为次对称矩阵。

定义4设 阶方阵 ，若存在数 和非零向量 ，使得 ,则称 为 的次特征值， 为 属于 的次特征向量。[12]

2。2、实对称矩阵的相关定理

定理1实次对称矩阵的次特征值一定是实数。

证  设实次对称矩阵 在复数域 上的一个次特征值是 , 属于 的一个特征向量为 ,那么有 ,两边左乘 ,得 , ， 为不等于零实数,又  是一阶实矩阵,相当于一个实数,从而得证。

定理2设 分别是实次对称矩阵 的任意两个不同的次特征值，则它们所对应的次特征向量 必正交 [13]

证 由 , 得 , 

 , ,又  因此有 相当于  ， ,即 正交。

定理3设 分别是实次对称矩阵 的任意两个不同的主特征值，则它们所对应的特征向量 必次正交 。

定理4设实次对称矩阵 的 个互不相同的次特征值为 ,是 属于 的次特征向量分别是 ,那么 必线性无关。[13]